2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：函数的奇偶性（含解析）

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2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：函数的奇偶性
一、选择题
1．已知函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2．已知函数的定义域为R，且，为奇函数，则( )
A. B.0 C.1 D.2
3．已知定义在R上的函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
4．已知函数的定义域为R，且满足，为偶函数，当时，，若，则( )
A. B. C. D.
5．设是定义域为R的偶函数，且为奇函数.若，，则( )
A. B. C. D.
6．已知函数，定义在R上的函数，，依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记.则对于下列命题：
①若是严格增函数，则；
②若是严格减函数，则；
③若是周期函数，则；正确的有( )
A.无一正确 B.①② C.③ D.①②③
7．已知函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数.若，则( )
A.23 B.24 C.25 D.26
8．若定义在R上的函数满足，且，，则下列结论错误的是( )
A. B.的图象关于直线对称
C. D.是奇函数
二、多项选择题
9．已知符号函数下列说法正确的是（ ）
A.函数是奇函数
B.对任意的
C.函数的值域为
D.对任意的
三、填空题
10．已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数a的取值范围是__________.
11．已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是__________.
12．已知定义在上的奇函数满足，且.若，，，，则不等式的解集为__________.
四、解答题
13．已知函数是上的奇函数．
(1)求的值；
(2)用定义证明在上单调递减；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
14．已知函数定义在上有恒成立,且当时,.
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)求函数的值域.
15．已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)证明: 是上的偶函数;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知正数满足:存在,使得成立,试比较与的大小,并证明你的结论.
16．已知函数是上的偶函数,且当时,
(1)求函数的解析式；
(2)求方程的解集.
17．已知函数是偶函数.
（1）求的值;
（2）若函数,是否存在实数使得最小值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意知，解得，所以，其在R上单调递增，
又因为，所以函数为奇函数，，
所以不等式可化为，
于是，即，解得或.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为，即，
所以函数关于对称，
因为为奇函数，所以，
令，则，所以，所以，
所以，即，
所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
是以.
故选：D.
3．答案：A
解析：由，可知关于对称，又，则，
又，则，
，.
故选：A.
4．答案：A
解析：因为①，
所以函数的图象关于点对称.
因为为偶函数，所以②，
则函数的图象关于直线对称.
由①②得，则，
故的周期为4，所以.
由，令，得，即③，
已知，由函数的图象关于直线对称，
得.
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，所以④，
联立③④解得，，
故当时，.
由的图象关于点对称，
可得.
故选：A.
5．答案：A
解析：由为奇函数，得，
得的图象关于点对称，所以.
又因为是定义域为R的偶函数，所以，，
所以的周期为4，
所以.
故选：A.
6．答案：D
解析：对于①项：是严格增函数，得：，，且，有：
又因为：，，分别为严格减函数，周期函数不符题意，为严格增函数符合题意，
所以：，故①项正确；
对于②项：是严格减函数，得：，，且，有：，
又因为：，，分别为严格增函数，周期函数不符题意，为严格减函数符合题意，
所以：，故②项正确；
对于③项：是周期函数，设其周期为：T，则得：，，，都有：，
又因为：，，分别为严格增函数，严格减函数不符题意，为周期函数符合题意，
所以：，故③项正确.
故选项D正确.
故选：D.
7．答案：C
解析：为偶函数，则则关于对称，
为奇函数，则，
即，则关于点对称，
则由其关于对称有，则，
则，作差有，
为周期函数，且周期为4，因为，，则，
因为，，则，
，则，
，，
故选：C.
8．答案：C
解析：由，所以
又，所以，且，
所以，故A正确
由A可得，，所以的图象关于直线对称，故B正确
由A可得，是周期为8的函数，，
又由，，得，所以，故C错误
对于D，由的图象关于点对称，
所以的图象关于原点对称，故D正确，
故选：C.
9．答案：ABD
解析：A,画出函数,的图象,根据图象对称性判定函数是奇函数，故正确；
B,对任意的,可得，故正确；
C,函数,画出图象,即可得值域不为故错，
D,,即可得，故正确。
故选：ABD.
10．答案：
解析：由题意知偶函数满足，
即，故2为函数的周期；
因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根，
作出函数在上的图象，如图：
结合图象可知需满足，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
11．答案：
解析：因为为偶函数，所以，即，则关于对称，
因为在上为增函数，且时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
由得，即，
则，解得或，
所以x的取值范围为，
故答案为：.
12．答案：
解析：令，，
因为，，，，
即，，，，
所以在上单调递减，
又为定义在上的奇函数，
所以，所以，
所以为偶函数，
所以在上单调递增，
又，且，
所以，所以，
不等式（依题意，则）等价于，
即，所以，则且，
解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
13．答案：解：(1) 由函数是上的奇函数知其图像必经过原点，
即必有，即，解得
经检验，时，函数是奇函数，所以.
(2)由(1)知．任取且，则
因为，所以，所以，
又因为且，故，
所以，即
所以在上单调递减
(3) 不等式可化为
因为是奇函数，故
所以不等式又可化为
由(2)知在上单调递减，故必有
即
因此知题设条件是：对任意的，不等式恒成立
设，则易知当时，
所以当时，不等式恒成立.
解析：
14．答案：(1)由于函数为奇函数,所以
(2)当时,.所以
因为是定义在上的奇函数,
所以,即
所以函数的解析式为
(3)令,当时,,则当时,
可写为,所以
由是定义在上的奇函数.得集合
解析：
15．答案：(1)证明:因为对任意,都有,
所以是上的偶函数.
(2)由条件知在上恒成立.
令,则,
所以对任意成立.
因为,
所以,
当且仅当,即,即时等号成立.
因此,实数的取值范围是.
(3)令函数,
则.
当时, ,,
又,故.
所以是上的单调增函数,
因此在的最小值是.
由于存在,使成立,
当且仅当最小值.
故,即.
令函数,则.
令,得,
当时, ,
故是上的单调减函数.
当时, ,
故是上的单调增函数.
所以在上的最小值是.
注意到,
所以当时, .
当时, .
所以对任意的成立.
①当时, ,即,从而;
②当时, ;
③当时, ,即,
故.
综上所述,当时, ;
当时, ;
当时, .
解析：
16．答案：(1)设,所以,所以,
由于函数为偶函数,所以,
所以函数的解析式为.
(2)当时,；当时,.
所以方程的解集为.
解析：
17．答案：（1）∵,即对于任意恒成立,
∴,
∴.
（2）由题意,
令,,开口向上,对称轴,
当,即时, ;
当,即时, (舍去);
当,即时, ,∴ (舍去).
存在使得最小值为0.
解析：
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