2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：一元二次函数与一元二次不等式（含解析）

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2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：一元二次函数与一元二次不等式
一、选择题
1．已知二次函数的图象过点，，且，，则( )
A. B.
C. D.
2．已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
3．关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展.某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( )
A.250元 B.260元 C.270元 D.280元
5．已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为-5和3,则二次函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
6．若对任何，不等式恒成立，则一定有( ).
A.， B.，
C.， D.，
7．对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知关于x的不等式的解集是,则( )
A. B. C. D.
10．下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有( )
A. B. C. D.
11．如图,二次函数的图像经过点,,下列说法正确的是( )
A. B.
C.时函数取最小值 D.图像的对称轴是直线
三、填空题
12．若,则不等式的解集为______________.
13．若3个整数满足,则这样的有序整数组共有_______组.
14．若方程有唯一的实数根3,则不等式的解集为________.
四、解答题
15．已知方程有两个负实根,求实数k的取值范围.
16．(1)已知一元二次不等式的解集为,求实数a、b的值及不等式的解集.
(2)已知,解不等式：.
17．已知关于x的不等式的解集为.
(1)求a,b的值;
(2)若关于x的不等式的解集为R,求k的取值范围.
18．已知二次函数满足,且该函数的图象经过点,在x轴上截得的线段长为4,设.
(1)求的解析式;
(2)求函数在区间上的最小值;
(3)设函数,若对于任意,总存在,使得成立,求a的取值范围.
19．已知函数.
(1)若,解不等式;
(2)若关于x的不等式的解集为R,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意，，令，则由根与系数的关系知，，，故，又，则.
因为，所以，
当时，，
即存在使，
记，，则，，
又在上随u的增大而减小，故，，故.
当时，，同理可得，，故.
综上所述，.
故选：D.
2．答案：A
解析：由题意得：一元二次方程的两根分别为1，2，
由根与系数的关系，可得，，
则不等式，
即对于任意的恒成立，
等价于，或，
解得：或.
则实数m的取值范围为或.
故选：A.
3．答案：D
解析：当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D.
4．答案：C
解析：依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为
.
因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过元，
所以，即，解得.
因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元.
故选：C.
5．答案：A
解析：因为二次函数的图像与x轴交点的横坐标为-5和3,
所以其对称轴方程为：,
又,
所以二次函数的单调递减区间为,
故选：A.
6．答案：C
解析：因为，不等式恒成立，
等价于：且恒成立，
令，，，
其中函数在区间上单调递增，
则函数在区间上单调递减，
所以，，
，.
故选：C.
7．答案：D
解析：分离参数得，
要使对任意，不等式恒成立，只需.
又因为，令，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，所以.
故选：D.
8．答案：D
解析：当时，，在定义域R上是单调递增的，故在上单调递增；当时，二次函数图象的对称轴为直线，因为在上单调递增，所以，且，得.综上，得.
9．答案：ABD
解析：不等式等价于不等式,
因为关于x的不等式的解集是,
所以,且,,
则,故B,D正确,C错误.
设,,则不等式的解集是.
又关于x的不等式即的解集是,
所以是的真子集,所以,则A正确.
故选：ABD.
10．答案：B
解析：若关于x的不等式对恒成立，
当时，不等式等价于恒成立，故满足要求，
当时，原不等式恒成立当且仅当，解得，
综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当，
而选项中只有是的充分不必要条件.
故选：B.
11．答案：CD
解析：因为二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点,,所以的两根分别为1,5.
由图可知,,由韦达定理可知,即,故A错误;
由图可知,该二次函数与x轴有两个交点,即,故B错误;
由韦达定理可知,,即该二次函数的对称轴为,即在时函数取最小值,故CD正确;
故选：CD.
12．答案：
解析：因为,
所以,
所以由,
得,
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
13．答案：14
解析：由
（1）,或2时,,1,2,此时共有6组;
（2）,或2时,,1,此时共有4组;
（3）,或2时,,2,此时共有4组.
综上,满足题意的有序整数组共有14组.
14．答案：
解析：由已知得抛物线的开口向下,与x轴交于点,
故不等式的解集为.
故答案为:
15．答案：或
解析：要使原方程有两个负实根,必须满足：
,即,
所以,
解得或.
所以实数k的取值范围是或.
16．答案：(1),;
(2)答案见解析
解析：(1)由的解集为,知的两根为-3,2,
所以,解得
所求不等式为,
变形为,
即,
所以不等式的解集为.
(2)原不等式为.
①若时,即时,则原不等式的解集为;
②若时,即时,则原不等式的解集为;
③若时,即时,则原不等式的解集为.
综上可得,当时,原不等式的解集为;
当时,则原不等式的解集为;
当时,则原不等式的解集为.
17．答案：(1),
(2)
解析：(1)依题意知,方程有两根为2和3,
则由韦达定理可得,,解得,,;
(2)由可得,,
依题意需使,,解得,,即.
18．答案：(1)
(2)答案见解析
(3)
解析：(1)因为,则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4,的图象与x轴的交点分别为,,所以设.
该函数的图象经过点,解得,所以.
(2)因为,其对称轴方程为,
当,即时,.
当,即时,
当,即时,
综上所述,当时,,
当时,,
当时,.
(3)若对于任意,总存在,使得成立,
等价于
函数,
因为,所以,所以当时,取得最小值
当时,,所以,不成立
当时,,所以,
解得或,所以
当时,,所以,解得,所以
综上所述,a的取值范围是.
19．答案：(1);
(2).
解析：(1)当时,,因此,解得,
所以原不等式的解集为.
(2)依题意,,,
当时,,解得,不合题意,
因此,二次函数值恒小于0,则,
且,
化简得：,解得或,
于是得,
所以实数m的取值范围是.
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