2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（含解析）

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2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一、选择题
1．设a，b，c均为正数，且，，，则( )
A. B. C. D.
2．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知，）( )
A.2019年 B.2020年 C.2021年 D.2022年
3．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（参考数据：）( )
A.1.5天 B.2天 C.2.5天 D.3.5天
4．某市一天内的气温（单位：℃）与时刻t（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是( ).
A. B.
C. D.
5．有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A. B.
C. D.
6．有一组实验数据如表：
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这组数据的最佳函数模型是( )
A. B. C. D.
7．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据.
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 10 20 39 81 160
则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( )
A. B. C. D.
8．植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是( )
A.（，） B.（，）
C. D.
二、多项选择题
9．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数的图象与x轴有两个交点
B.函数的最小值为
C.函数的最大值为4
D.函数的图象关于直线对称
10．已知函数，，，当x在上逐渐增大时，下列关于这三个函数的描述正确的是( )
A.的增长速度越来越快 B.的增长速度越来越快
C.的增长速度一直快于 D.的增长速度有时慢于
11．在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法错误的是( )
A.与的图象有两个交点
B.与的图象有三个交点
C.，当时，的图象恒在的图象的上方
D.，当时，的图象恒在的图象的上方
三、填空题
12．对于函数定义域中的任意，，有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）.当时，上述结论中正确结论的序号是________.
13．方程的解集为________.
14．已知函数，.若，，使得成立，则m的范围是________.
四、解答题
15．已知函数和的大致图象如图所示，设这两个函数的图象相交于点和，且.
（1）请指出图中曲线，分别对应哪一个函数；
（2）若，，且，指出a，b的值，并说明理由.
16．函数和的大致图象如图所示.设两函数的图象交于点，，且.
（1）请指出图中曲线，分别对应的函数；
（2）结合函数图象，判断，，，的大小.
17．某公司为了实现年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%现有三个奖励模型:，，，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.
(参考数据:，，)
18．某培训机构为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过3万元,同时资金不超过利润的.现有三个奖励模型:,其中哪个模型符合该校的要求
19．某工厂今年月、月、月生产某种产品的数量分别是万件、万件、万件,为了预测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 (其中为常数),已知月份该产品的产量为万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好 并说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：因为所以，可得；
因为所以，可得；
因为所以，可得，所以，
故选：A.
2．答案：D
解析：2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为，
再过n年（），这家工厂生产这种产品的年产量为，
由得，，
两边取对数得，，
即，
而，故，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
4．答案：D
解析：由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，
从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，
是常数，该常数为2，只有D满足，
故选：D.
5．答案：C
解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.
6．答案：C
解析：通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确，D选项中的函数增长速度没有变化，不正确，对于C选项，当时，；对于A，当时，，误差偏大，故C选项正确.故选C.
7．答案：D
解析：对于A选项，当时，对应的y值分别为10，20，30，40，50；对于B选项，当时，对应的y值分别为10，20，40，70，110；对于C选项，当时，对应的y值分别为10，20，，30，；对于D选项，当时，对应的y值分别为10，20，40，80，160，而表中所给的数据，当时，对应的y值分别为10，20，39，81，160，通过比较，发现选项D中y的值与表格中y的值误差最小，即能更好地反映y与x之间的关系.故选D.
8．答案：B
解析：由散点图可知，植株高度增长越来越缓慢，故选择对数型函数模型.故选B.
9．答案：AB
解析：令，即，解得或，即或，即选项A正确；
由，即函数的最小值为，无最大值，即选项B正确，选项C错误；
，函数的图象不关于直线对称，选项D错误，
故选：AB.
10．答案：BD
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，如图所示，由图可知的增长速度没有变化，所以A错误；在上，的增长速度越来越快，所以B正确；由图可知在上，的增长速度最慢，而在上，的增长速度最快，所以C错误，D正确.故选BD.
11．答案：AC
解析：，，，，，，，，则可在同一坐标系内作出两函数图象如图所示.
显然两函数的图象有三个交点A，B，C，故A错误，B正确；
由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，
所以当时，的图象恒在的图象的上方，故C错误，D正确.故选AC.
12．答案：（2）（3）（4）
解析：当时，
对（1），，而，故，故（1）错误；
对（2），，故（2）正确；
对（3），因为函数是上的增函数，所以，故（3）正确；
对（4），，
因为，所以，
所以，所以，所以，
所以，故（4）正确.
故答案为：（2）（3）（4）.
13．答案：
解析：由题意知，，即，
所以，有，
即，解得或，
当时，有，得或（舍去），
解得；
当时，有，即，得或（舍去）
解得，
所以方程的解集为：.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为对于，使得，
即，即.
因为，函数在上单调递增，单调递减，
，即，即，
又，
设，则，，对称轴为，
①当，即时，，即，
解得，所以；
②当即，，即，解得.
所以解集为，
③当时，即，，解得，此时解集为.
综上，m的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）见解析
（2），；理由见解析
解析：（1）由指数函数与幂函数的增长速度知对应函数，对应函数.
（2）依题意知，是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当时，，即；
当时，；
当时，.
因为，，，，
所以，即；
因为，，，
，，，
，，，
所以，即.
16．答案：（1）曲线对应的函数为，曲线对应的函数为.
（2），，，，
，，
，.
由题图可以看出，当时，
，.
当时，，
.
又，
.
解析：
17．答案：由题意，符合公司要求的模型需同时满足:当时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③.
(1)对于，易知满足①，但当时，，不满足公司的要求.
(2)对于，易知满足①，但当时，，不满足公司的要求.
(3)对于，易知满足①.当时，.
下面证明.
因为，满足②
再证明，即.
设，则，，
所以在上为减函数，
，满足③.
综上，奖励模型能完全符合公司的要求.
解析：
18．答案：借助工具作出函数的图象(如图),观察图象可知,在区间上,的图象都有一部分在直线的上方,只有的图象始终在和的下方,这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求.
解析：
19．答案：
根据题意,该产品的月产量是月份的函数,可供选用的函数有两种,其中哪一种函数确定的月份该产品的产量越接近于万件,哪种函数作为模拟函数就较好,故应先确定这两个函数的具体解析式.
设 (为常数,且),,根据已知有
和
解得和
所以.
所以.
显然更接近于,故选用作为模拟函数较好.
解析：
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