2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 3.2 基本不等式（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 3.2 基本不等式
一、选择题
1．设,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知，且，则的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3．若正数x，y满足，则的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的,它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式:,当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为( )
A. B. C. D.
5．函数的最大值为( )
A. B. C. D.1
6．已知随机变量,且,则的最小值为( )
A.5 B. C. D.
7．不等式成立的前提条件为( )
A. B. C. D.
8．下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是( )
A. B.（其中）
C. D.（其中）
二、多项选择题
9．已知正数a,b满足且,则( )
A.的最小值为16 B.的最小值为4
C.的最小值为 D.,
10．已知为正实数,,则( )
A.的最小值为4 B.的最小值为
C.的最小值为8 D.的最小值为2
11．已知正实数a,b,满足,则( )
A. B.
C. D.
12．已知，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．若，，且，则的最大值为______.
14．函数取得最小值时x的取值为__________．
15．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b的不等式表示为__________.
16．设矩形的周长为12,把沿AC向折叠,AB折后交DC于点M,则的面积最大值为___________.
四、解答题
17．(1)已知实数,,,求的最小值;
(2)已知实数x,y满足,,,求的最小值.
18．（1）已知正数x，y满足，求的最大值；
（2）若正数a，b满足，求的最小值.
19．(1)求函数的最大值;
(2)求函数的最小值;
(3)若,且,求的最小值.
20．已知a，b，c均为正数，且.
（1）是否存在a，b，c，使得，说明理由；
（2）证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以,,
故,
当且仅当,即时,等号成立.
故选：D.
2．答案：C
解析：因为，所以
因为，，
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为6，
故选：C
3．答案：D
解析：方法一由条件得，
由，知，
从而
，
当且仅当，即，时取等号.
故的最小值为5.
方法二对原条件式转化得，
则
，
当且仅当，，即，时取等号.
故的最小值为5.
故选：D
4．答案：A
解析：该函数的定义域为,由柯西不等式可得:
,
当且仅当时取等号,即当时取等号,
故选:A
5．答案：B
解析：由于,所以,
当且仅当,即时等号成立,故最大值为,
故选：B.
6．答案：D
解析：根据正态分布的知识得,则,
,
当且仅当,即时取等.
故选:D
7．答案：B
解析：基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又，所以，即.故选B.
8．答案：B
解析：对于A，当时，不等式不成立，A错误；
对于B，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，B正确；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号取不到，C错误；
对于D，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号取不到，D错误.故选B.
9．答案：CD
解析：由题意可得,,,
（当且仅当时取等号）,
经检验后无法取得等号,故A、B错误;
由得,由得:,
,又（当且仅当时取等号）,
,故C正确;
,,,,故D正确,
故选:CD.
10．答案：BCD
解析：对A:因为a,b为正实数,且,所以,因为,所以,故A错误.
对B:因为a,b为正实数,且,所以（）.
所以（当且仅当,即,时取“”）,故B正确;
对C:因为（都是当且仅当时取“”）,故C正确;
对D:因为,,故,,所以（当且仅当时取“”）,故D正确.
故选:BCD
11．答案：ABD
解析：因为,且,,
当且仅当时取“”,故A正确;
因为,所以,
所以,当且仅当时,等号成立,故B正确;
,当且仅当时取“”,
由B选项可知,,所以,
当且仅当时,等号成立,故D正确;
,当时,有最小值,
即,故C错误.
故选：ABD.
12．答案：ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
13．答案：
解析：，，由基本不等式，，即，当且仅当时等号成立.
，
即，解得，当，即，时，有最大值.
故答案为：
14．答案：
解析：,,当且仅当时取“=”.
故答案为：.
15．答案：
解析：题图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，面积.题图(2)是一个矩形，面积，可得.
16．答案：
解析：如下图,折叠后对应为,令且,则,
由图知:,,,则,
所以,而,
令且,则,
所以,则,
则,
当且仅当时等号成立,
所以的面积最大值为.
故答案为:
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,,,
所以,
当且仅当,即时取等号,
又因为,,,
此时解得,,取等号的条件成立,
因此的最小值为.
(2)因为,,,
所以,
令,则
,
当且仅当,即时取等号,
又因为,此时解得,,所以取等号的条件成立,
故的最小值为.
18．答案：（1）；
（2）27.
解析：（1）因为正数x，y满足，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是；
（2）因为正数a，b满足，
所以，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是27.
19．答案：(1)-1;
(2)9;
(3)9
解析：(1)由,得,
因此,
当且仅当,即时取等号,所以原函数的最大值为-1.
(2)由,得,
因此,
当且仅当,即时取等号,所以原函数的最小值为9.
(3)因为,且,
所以,
当且仅当,即时取等号,此时,,所以的最小值为9.
20．答案：（1）不存在，理由见解析
（2）证明见解析
解析：（1）不存在a，b，c，使得.理由如下：
因为a，b，c都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为，
所以不存在a，b，c，使得.
（2）因为
，当且仅当时等号成立，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)