2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 4.2 对数（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 4.2 对数
一、选择题
1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（）
A.60 B.63 C.66 D.69
3．a表示的小数部分，则的值是( )
A.-1 B.-2 C.0 D.
4．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为( )（参考数据：，）
A. B. C. D.
5．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
6．下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7．有以下四个结论，其中正确的是( )
A. B.
C.若，则 D.
8．已知函数则( )
A.5 B.6 C.7 D.14
二、多项选择题
9．若，，则下列等式恒成立的为( )
A. B.
C. D.
10．已知正实数a，b满足，且，则的值可以为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11．若实数a，b满足，则下列关系中可能成立的有( )
A. B. C. D.
12．下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
三、填空题
13．方程的解为________.
14．若正实数a满足，则a的值为____________.
15．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为____________分钟.（参考数据：）
16．若,,则__________.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知，，试用m，n表示.
18．计算：
（1）
（2）已知，，试用a，b表示.
19．（1）已知，，求；
（2）甲、乙两人同时解关于x的方程：，甲看错了常数b，得到的两根分别为3和，乙看错了常数c，得到的两根分别为和81，求这个方程的正确根.
20．若函数满足下列条件:在定义域内存在,使得成立,则称函数具有性质;反之,若不存在,则称函数不具有性质M.
（1）证明:函数具有性质M,并求出相应的;
（2）已知函数具有性质M,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由，得，，，
，，，则，
根据可知，.
故选：C.
2．答案：C
解析：，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
3．答案：A
解析：因为，而，则，
所以，
所以.
故选A.
4．答案：D
解析：设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，
则，两边取对数可得，，
故
所以.
故选：D.
5．答案：D
解析：，，，，因为，所以，所以；，因为，所以，所以，所以.故选D.
6．答案：B
解析：对于①，因为，故①正确；
对于②，因为，故②正确；
对于③，因为，所以，故③错误；
对于④，因为，，故④错误.
所以只有①②正确.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为，，所以A错误，B正确；若，则，故C错误；，而没有意义，故D错误.
故选：B.
8．答案：C
解析：,
因为,
所以,
所以
故选：C.
9．答案：BD
解析：
A × 令，则.
B √ .
C × 令，则.
D √ .
10．答案：CD
解析：因为，所以，故.设，则，故，解得或2.经检验，1和2均是分式方程的解.当时，，故，，故；当时，，故，，故.故选CD.
11．答案：ABC
解析：当时，，即，故，A正确；
当时，，，故，B正确；
当时，，即，故，C正确；
当时，，，故，D错误；
故选：ABC.
12．答案：BD
解析：化成对数式应为，即，故A错误；可化为，故B正确；化成对数式应为，故C错误；可化为，故D正确.故选BD.
13．答案：
解析：由题得，.
由题得，，
所以，
所以，
所以，满足.
故答案为：.
14．答案：1000
解析：因为正数a满足，
所以，
即，
所以，解得.
故答案为：1000.
15．答案：22
解析：由题知，，，
，
，
，
，
.
故答案为：22.
16．答案：8
解析：依题意,,所以.
故答案为：8.
17．答案：（1）0
（2）
解析：（1）
.
（2），
由得，又，
所以.
18．答案：（1）10；（2）
解析：（1）
，
（2）
.
19．答案：（1）
（2）27和
解析：（1）.
（2）原方程可化为，
由题意得，，
，，
，或，
或，即这个方程的正确根为27和.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）证明:代入得:,
即,解得,
函数具有性质M,;
（2）由题知的定义域为R,且,
函数具有性质M,
存在,使得成立,
代入得:,
,
,
整理得:有实根,
①当时,解得,;
②当时,得,
即,解得:,
综上可得:.
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