2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 5.3 函数的单调性（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 5.3 函数的单调性
一、选择题
1．已知函数,在R上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．设函数是R上的减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．下列函数中,在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
4．已知函数是R上的单调函数,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知是R上的减函数,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．已知函数在上单调递增,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．已知是奇函数,且在上是增函数,又,则的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．已知函数，，则下列结论中正确的是( )
A.函数是其定义域上的减函数
B.函数是其定义域上的减函数
C.函数是其定义域上的增函数
D.函数是其定义域上的增函数
10．已知定义在的函数满足：当时，恒有，则( )
A.
B.函数在区间为增函数
C.函数在区间为增函数
D.
11．定义在上的函数满足：对于定义域上的任意,，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个定义域为的函数，其中能被称为“理想函数”的有( )
A. B. C. D.
12．已知函数，，下列说法正确的是( )
A.的最大值为1 B.在上单调递减
C.的最大值为2 D.的值域为
三、填空题
13．函数满足对任意实数都有成立,则实数a的取值范围为___________.
14．已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为________.
15．已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为________.
16．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为________.
四、解答题
17．设是减函数，试确定的符号.
18．已知函数是定义在上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明;
（3）解关于x不等式.
19．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）判断函数的单调性并用定义加以证明；
（2）求使成立的实数m的取值范围.
20．已知函数为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断并证明函数在区间的单调性;
(3)当时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由函数在R上单调递减,
根据分段函数单调性的判定方法,则满足且,解得,
实数a的取值范围为.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题意可得:,
故实数的取值范围是.
故选:A.
3．答案：C
解析：对于A,因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故A错误;
对于B,因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故B错误;
对于C,因为在上单调递减,在上单调递减,
所以在上单调递增,故C正确;
对于D,因为,,,
显然在上不单调,D错误.
故选：C.
4．答案：B
解析：根据题意,当时,,可得在上递增,
要使得函数是R上的单调函数,
则满足,且,解可得,
所以实数a的取值范围为.
故选:B.
5．答案：D
解析：方法一：由题意，知在，单调递减，且.当时，令，得或，又，所以；当时，令，得或，又，所以；当时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为.故选D.
方法二：当时，，符合题意，排除B；当时，，不符合题意，排除A，C.故选D.
6．答案：C
解析：根据题意保证两段都是减函数,在1附近还要一直减.可得,
解得.
故选:C.
7．答案：C
解析：因为为开口向上的二次函数,
则且,
所以.
8．答案：A
解析：是奇函数,在上是增函数,且,
在上是增函数,,
当或时,,当或时,,
等价于或,
即或,
或,
故不等式的解集为:.
9．答案：ABD
解析：对于A，因为函数的定义域为，函数在上单调递减，所以A正确；
对于B，因为函数的定义域为，函数和在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B正确；
对于C，因为函数的定义域为，函数是偶函数，所以函数在上不可能是单调函数，所以C错误；
对于D，因为函数的定义域为，函数和在上单调递增，所以函数在上为增函数，所以D正确.
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：依题意，当时，恒有，
令，，则，，，
所以A选项正确.
不妨设，
设，，
由于，所以，
所以，，
所以在为增函数，所以B选项正确.
设，的符号无法判断，
所以的单调性无法判断，所以C选项错误.
由上述分析可知，函数在为增函数，
所以，
所以，，
同理，
所以，，
所以
，所以D选项正确.
故选：ABD
11．答案：BD
解析：由题可得：当时，恒有，
令，故：，又定义在上，
故，即在单调递增，
A项：在单调递减，故不正确；
B项：在单调递增，故正确；
C项：在递减，在递增，故不正确；
D项：在单调递增，故正确；
故选：BD.
12．答案：ACD
解析：
A √ ，，所以当时，取最大值1.
B × ，在上单调递增.
C √ ，当且仅当时取等号.
D √ ，在上单调递增，值域为.
13．答案：
解析：由题意,函数在和上分别单调递增,
且在上的最高点不高于其在上的最低点,
即解得
14．答案：
解析：在R上单调递增，，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：
解析：函数是偶函数，则，即，
整理得，而x不恒为0，因此，，
函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，
所以，
所以在上严格增函数
所以，.
故答案为：.
17．答案：
解析：若，则，
因为是减函数，所以，即，
所以.
若，则，
因为是减函数，所以，即，
所以.
综上所述，当时，.
18．答案：（1）
（2）单调递增,证明见解析
（3）
解析：（1）由奇函数的性质可知,,
,
.
,.
经验证,满足题设.
（2）函数在上单调递增,
证明:令,
,
,,,,,
即,
函数在上单调递增.
（3）由已知:,
由（2）知在上单调递增,
,
不等式的解集为.
19．答案：（1）在上是增函数，证明见解析；
（2）
解析：（1）函数是定义在上的奇函数，
，即.
又，即，解得.
经检验，时，是定义在上的奇函数.
设，且，
则.
，
，，，
，即，
在上是增函数.
（2）由（1）知，在上是增函数，
是定义在上的奇函数，
由，得，
，即，解得.
所以实数m的取值范围是.
20．答案：(1)
(2)增函数,证明见解析
(3)
解析：(1)由题意可知的定义域为,因为函数为奇函数,所以,
经检验,符合题意,
所以;
(2)在上是增函数,
证明：在上任取,,且,
则,
由,得,,,
于是,即,
所以在上是增函数;
(3)由(2)可知在上单调递增,
所以,即,
不等式恒成立,令,,
则有对于恒成立,
所以,,
,,
当时,有最小值,所以,
因此实数m的取值范围为.
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