2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 8.1 二分法与求方程近似解（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 8.1 二分法与求方程近似解
一、选择题
1．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点，第二次应计算，以上横线应填的内容依次为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
2．用二分法判断方程在区间内的根(精确度0.25)可以是(参考数据:,)( )
A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25
3．若函数的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解(精确度0.04)为( )
A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.4375
4．下列函数图象中，不能用二分法求零点的是( )
A. B.
C. D.
5．设，用二分法求方程在近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间( )
A. B. C. D.不能确定
6．用二分法求函数的一个零点，其参考如下数据：
由此可得到的方程的一个近似解(精确到0.01)为( )
A.1.55 B.1.56 C.1.57 D.1.58
7．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125
-6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.3418 0.5793
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为( )
A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9
8．已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、多项选择题
9．下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求函数零点的是( )
A. B.
C. D.
10．下列函数中,能用二分法求函数零点的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
11．用二分法研究函数的零点,第一次经计算,,则第二次计算的的值为___.
12．已知函数在上有一个零点,用二分法求零点的近似值(精确度为0.1)时,至少需要进行__________次函数值的计算.
13．已知函数在区间上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：，，，，，，据此可得该零点的近似值为________．（精确到）
14．用二分法研究函数的零点，第一次经计算，，则第二次计算的的值为___.
四、解答题
15．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量比真币的略小）.现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，至多几次就一定可以找出这枚假币？
16．借助计算器用二分法求关于x的方程的正实数解的近似值.（精度为0.1）
17．已知函数在区间（-1,1）上有一个零点，试用二分法求方程在区间（-1,1）上的根.
18．已知函数且
(1)证明：
(2)利用二分法证明方程在上有两个实根
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可知：对函数，，，
且函数在区间上连续，可得其中一个零点，使得，
根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算，
所以答案为：，.
故选：A.
2．答案：B
解析:设,
,,
,
在内有零点,
在内有零点,
方程根可以是0.635.
故选:B.
3．答案：D
解析：由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，
故选：D.
4．答案：B
解析：观察各选项中的图像与x轴的交点，若交点附近的函数图像连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点.选B.
5．答案：B
解析：方程的解等价于的零点.由于在R上连续且单调递增，，所以在内有零点且唯一，所以方程的根落在区间，故选B.
6．答案：B
解析：因为，，
且1.5625精确到0.01为1.56，1.5562精确到0.01为1.56，
故方程的近似解为1.56，故选B.
7．答案：C
解析：根据表中数据可知，，又，所以区间内的任何一个值都可作为方程的近似解.故选C.
8．答案：B
解析：每次等分区间，都会是区间的长度变为原 来的一半，而原区间的长度为1，令 ，求得自然数n最小为4， 故选B.
9．答案：ABC
解析：二分法适用于函数图像连续，且零点两侧函数值异号的情况.故选ABC.
10．答案：ACD
解析：对于选项B, ，，当时，.当时，，在零点两侧的函数值同号，不能用二分法求函数零点；选项A,C,D中，在函数零点两侧的函数值异号，故可用二分法求函数零点.故选ACD.
11．答案：
解析：因为,所以第二次应计算,所以,
故答案为：
12．答案：4
解析：设对区间二等分次,初始区间长度为1,
第1次计算后区间长度为;
第2次计算后区间长度为;
第3次计算后区间长度为;
第4次计算后区间长度为;
故至少计算4次.
故答案为:4.
13．答案：
解析：因为，，即，
所以由零点存在定理可知的零点在之间，近似值为1.56.
故答案为：1.56.
14．答案：或-0.
解析：因为，所以第二次应计算，
所以，
故答案为：.
15．答案：利用二分法，至多四次就一定可以找出这枚假币.第一次把26枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的组（13枚金币）含假币；第二次把含假币的13枚金币分成三组：6,6,1，把有6枚金币的两组放在天平上称，如果平衡，那么剩下的一枚是假币（称量结束），如果不平衡，那么轻的一组（6枚金币）含假币；第三次把含假币的6枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平不平衡，轻的一组含假币；第四次把含假币的3枚金币分成3组：1,1,1，取其中的两枚金币放在天平上称，如果平衡，那么剩下的一枚是假币，如果不平衡，那么轻的一枚是假币.因此，最多四次就可以找出假币.
解析：
16．答案：令，则关于x的方程的正实数解的近似值即为函数的正零点的近似值.
由于，，故可取区间作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值
2.5 0.25
2.25 -0.4375
2.375 -0.
2.4375
因为,
所以关于x的方程的正实数解的近似值可取.
解析：
17．答案：，，，
函数的零点在（0,1）上.
又，函数在（-1,1）上的零点为，
方程在区间（-1,1）上的根为.
解析：
18．答案：(1)证明：∵，∴，
即.
∵，
∴，则，即.
∵，∴，则.
(2)在区间内选取二等分点，
则.
∵，
∴函数在区间上各有一个零点。
又最多有两个零点,从而在内有两个实根。
解析：
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