2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 8.2 函数与数学模型（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 8.2 函数与数学模型
一、选择题
1．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内,电池的性能衰减不能超过,否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为,该品牌设置的质保期至多为( )
（参考数据：,）
A.12年 B.13年 C.14年 D.15年
2．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为( )（参考数据：，）
A.5.32h B.6.23h C.6.93h D.7.52h
3．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )
A.2600 B.2700 C.26 D.27
4．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L（噪音级）为，声强I（单位：）与声强级L（单位：）的函数关系式为（a，b为常数）.某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为( )
A. B. C. D.
5．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），M是火箭起飞时的总质量（单位：kg），是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（，）( )
A. B. C. D.
6．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是( )参考数据：，，.
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
7．地震的震级与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达，其中M为震级，E为地震能量.2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次5.0级地震能量大约是第二次3.6级地震能量的（参考数据：，）( )
A.110倍 B.115倍 C.120倍 D.126倍
8．锂电池在存放过程中会发生自放电现象,其电容量损失量随时间的变化规律为,其中Q（单位）为电池容量损失量,p是时间t的指数项,反映了时间趋势由反应级数决定,k是方程剩余项未知参数的组合,与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电池为研究对象,经实验采集数据进行拟合后获得,相关统计学参数,且预测值与实际值误差很小.在研究M对Q的影响时,其他参量可通过控制视为常数,电池自放电容量损失量随时间的变化规律为,经实验采集数据进行拟合后获得,相关统计学参数,且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为,存放16天后,电容量损失量约为( )
（参考数据为：）
A.100.32 B.101.32 C.105.04 D.150.56
二、多项选择题
9．研究表明，地震时释放的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为，则( )
A.震级为2级的地震释放的能量为
B.释放能量为的地震震级为3级
C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍
D.释放能量之比为的两场地震的震级相差2级
10．如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C.第4个月时，蓝藻面积就会超过
D.若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则一定有
11．边际函数是经济学中的一个概念，在工程、技术、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产75台机器，生产x台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为（单位：元），则以下说法正确的是( )
A.取得最大值时每月产量为53台
B.边际利润函数的表达式为
C.利润函数与边际利润函数具有不同的最大值
D.边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
12．如图,某湖泊的蓝藻的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系满足,则下列说法正确的是( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C第6个月时,蓝藻面积就会超过
D.若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,则一定有
三、填空题
13．水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），那么水的高度h是如何随时间t变化的？请填上与容器匹配的图象的序号.
a：_________；b：_________；c：_________；d：_________.
14．近几年由于北京房价的上涨，二手房市场交易火爆.房子几乎没有变化，但价格却上涨了.小张在2010年以80万元的价格购得一套新房，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是__________.
15．某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.
16．某商场以每件30元的价格购进一种商品,根据销售经验,这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数,若要每天获得最大的销售利润,则每件商品的售价应定为_______________元.
四、解答题
17．已知函数和的大致图象如图所示，设这两个函数的图象相交于点和，且.
（1）请指出图中曲线，分别对应哪一个函数；
（2）若，，且，指出a，b的值，并说明理由.
18．经济学中，函数的边际函数定义为，利润函数的边际利润函数定义为.某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差.
（1）求利润函数的边际利润函数.
（2）利润函数与边际利润函数是否具有相等的最大值？
（3）你认为本题中边际利润函数取最大值的实际意义是什么？
19．学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：
（1）函数的图象接近图示；
（2）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（3）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
（4）每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③.
（1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
（2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
（参考值：）
20．某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足关系式,其中,a为常数,已知销售单价为6元/千克时,每日可售出该商品220千克.
（1）求a的值;
（2）若该商品的进价为4元/千克,试确定销售单价x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出利润的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：设该品牌设置的质保期至多为x年,
由题意可得,,则,
两边取对数,即,则,
即,则,
因为,所以,则,又因为,所以,
故选：C.
2．答案：C
解析：由题意得：，
设该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为，
，
，
故，，
故该新药对病人有疗效的时长大约为.
故选：C.
3．答案：D
解析：因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，
当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；
当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，
所以，则，即耗氧量为，
因此鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.
故选：D.
4．答案：B
解析：由题意可知，解得，，所以，易得当L越大时，I越大，
所以当时，达到安静环境要求下的I取得最大值.
故选：B.
5．答案：B
解析：由于，其中，，，
所以.故选B.
6．答案：D
解析：设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
由得，
两边同取常用对数，得，所以，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选：D.
7．答案：D
解析：第一次，即①，第二次，即②，得，即，由题可知，故.故选D.
8．答案：C
解析：根据题意,可得,,,
代入,
可得,
因为该品牌电池初始荷电状 ,
所以存放16天后,电容量损失量,
故选：C.
9．答案：BD
解析：对于A，当时，，解得，A错误；
对于B，当时，，解得，B正确；
对于C，令9级地震释放的能量为，8级地震释放的能量为，则，于是，C错误；
对于D，设释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为，
则，且，两式相减得，解得，D正确.故选BD.
10．答案：ACD
解析：由题图可知，函数的图象经过点，即，则，，不是常数.由可知蓝藻每个月的面积是上个月面积的3倍，则每个月的增长率为，A正确，B错误；
当时，，C正确；
若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则，，，，则，D正确.故选ACD.
11．答案：BCD
解析：
A × ，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，所以取得最大值时每月产量为53台或54台.
B √ .
C √ ，因为函数为减函数，所以.
D √ 因为函数为减函数，所以边际利润函数随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.
12．答案：ACD
解析：由图可知,函数图象经过,
即,则, ;
不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍,则每个月的增长率为,A对、B错;
当时,,C对;
若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,
则,,,则,即,则,D对;
故选：ACD．
13．答案：（3）；（2）；（4）；（1）
解析：容器a和b的水面上升速度是匀速的，且容器a的水面上升得快，因此a对应（3），b对应（2），容器c的水面开始是缓慢上升，后来上升得快，而容器d的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此c对应（4），d对应（1）.
14．答案：
解析：这套房子一年后的价格为.
这套房子两年后的价格为，…，
由此可推得2020年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是.
15．答案：5
解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.
16．答案：40
解析：设某商场每天获得销售利润为y（元）,
则,
因为,所以当（元）时,y取得最大值为（元）.
所以若要每天获得最大的销售利润,则每件商品的售价应定为40元.
故答案为：40.
17．答案：（1）见解析
（2），；理由见解析
解析：（1）由指数函数与幂函数的增长速度知对应函数，对应函数.
（2）依题意知，是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当时，，即；
当时，；
当时，.
因为，，，，
所以，即；
因为，，，
，，，
，，，
所以，即.
18．答案：（1）（，）
（2）不具有相等的最大值
（3）见解析
解析：（1）由题意得
（，）.
所以（，）.
（2），
或63时，.
，
时，，
与不具有相等的最大值.
（3）边际利润函数当x取1时有最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大.
19．答案：（1）
（2）29.25
解析：（1）对于模型①：由题意，有得.
，
当时，，不合题意，
对于模型②：的增长越来越快，图像越来越“陡峭”，不合题意.
对于模型③：由题意，有得，
，
该函数图像增长符合题设图像要求.
当时，
，
符合题意，
综上所述，最合适的模型是模型③，其解析式为.
（2）由（1），令，
解得，
所以每天至少锻炼29.25分钟.
20．答案：（1）
（2）当时,函数取得最大值,且最大值等于440.
解析：（1）因为.且时,.
所以解得..
（2）由（1）可知,该商品每日的销售量.
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
因为为二次函数,且开口向上,对称轴为.
所以,当时,函数取得最大值,且最大值等于440.
所以当销售价格定为6元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大利润为440元.
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