2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 第2章 常用逻辑用语（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 第2章 常用逻辑用语
一、选择题
1．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
2．“”是“不等式的解集为R”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
4．命题“，”的否定为( )
A.， B.，
C.， D.，
5．已知命题,,则：( )
A. B. C. D.
6．命题“”的否定是( )
A., B., C., D.,
7．“x,y都是有理数”是“xy是有理数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．“,”为真命题的充分必要条件是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )
A.若点M,N分别是线段,的中点,则
B.点C到平面的距离为
C.直线BC与平面所成的角等于
D.三棱柱的外接球的表面积为
10．已知条件,条件,且p是q的必要条件,则m的值可以是( )
A. B. C.- D.0
11．下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是( )
A.若,则x>y B.若,则
C.若,则 D.若,则
12．下列四个选项中，p是q的充要条件的有( )
A.p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等
B.p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例
C.，
D.p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分
三、填空题
13．已知，命题“存在，使”为假命题，则a的取值范围为________.
14．已知集合，.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围为__________.
15．若a，b都是实数，试从①；②；③；④中选出适合的条件，用序号填空：
（1）“a，b都为0”的必要条件是__________；
（2）“a，b都不为0”的充分条件是__________；
（3）“a，b至少有一个为0”的充要条件是__________.
16．给出下列四个命题：
①“若，则”的逆命题；
②“若数列是等比数列，则”的否命题；
③“若，则关于x的方程有实根”的逆命题；
④“若，则”的逆否命题.
其中假命题是__________.
四、解答题
17．判断下列命题的真假并说明理由：
（1）如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根；
（2）如果一元二次方程有实数根，那么.
18．写出下列命题的否定.
（1）实数的绝对值是非负数；
（2）矩形的对角线相等.
19．已知集合，或.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数m的取值范围.
20．中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
（1）计算：；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
（3）若“A中的元素”是“对任意，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
参考答案
1．答案：D
解析：命题“,”的否定是,,
故选：D.
2．答案：B
解析:因为关于x的不等式的解集为R,可得,即;
由不一定能推出,但由一定能推出
所以“”是“不等式的解集为R”的必要不充分条件.
故选:B.
3．答案：C
解析：命题“,”的否定是“,”.
故选：C.
4．答案：C
解析：，”的否定为，.
故选：C.
5．答案：C
解析：命题,是存在量词命题,其否定是全称量词命题,
所以,.
故选：C.
6．答案：B
解析：命题“,”的否定是,.
故选:B.
7．答案：A
解析：由x,y都是有理数,则xy一定是有理数,
但xy为有理数,x,y不一定为有理数,比如为有理数,但是是无理数,
则“x,y都是有理数”是“xy是有理数”的充分不必要条件.
故选:A.
8．答案：B
解析：,,即,即.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：正方体的棱长为1,
对于选项A：因为点M,N分别是线段,的中点,则,且故,故A正确;
对于选项B：点C到面的距离为长度的一半,即h,故选项B错误;
对于选项C：直线BC与平面所成的角即为等于,故C正确;
对于选项D：三棱柱外接球半径,故其外接球表面积,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：设,,
因为p是q的必要条件,所以,
当时,由无解可得,符合题意;
当时,或,当时,由解得,
当时,由解得.
综上,m的取值为0,,.
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：对于A:若,则,所以p为q既不充分也不必要条件,故A错误;
对于B:若,则,所以p为q的必要条件,故B正确;
对于C:若,则,所以p为q的必要条件,故C正确;
对于D:若,则,所以p为q的充要条件,故D错误.故选:BC.
12．答案：AB
解析：三角形是等腰三角形,则两底角相等,从而存在两角相等;反之,当三角形中有两角相等时,所对的边相等,即为等腰三角形，所以"三角形是等腰三角形"的充分必要条件是"三角形存在两角相等"，故A正确；
根据相似三角形的定义,可知三边对应成比例;反之,当三边对应成比例时，根据边边边的判定定理，可知两个三角形相似,故"两三角形相似"是"两三角形三边成比例"的充分必要条件,故B正确;
时,可能，或者，,故""不是"，"的充分条件,故C错误;
正方形的对角线互相垂直且平分，但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形，不一定是正方形，故"四边形是正方形"是"四边形对角线互相垂直且平分"的充分不必要条件,故D错误.
故选:AB
13．答案：
解析：命题：“存在，使”为假命题
即恒成立，则，
即：，解得，
故实数a的取值范围为
故答案为：
14．答案：
解析：因为，，所以当时，y取得最小值；当时，y取得最大值2，
所以，
因为“”是“”的充分条件，所以，
而，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为.
15．答案：（1）①或②或③
（2）④
（3）①
解析：①或，即a，b至少有一个为0；
②互为相反数，即a，b可能均为0，也可能一正一负；
③或
④或即a，b同号且都不为0.
“a，b都为0”的必要条件是①或②或③；“a，b都不为0”的充分条件是④；“a，b至少有一个为0”的充要条件是①.
16．答案：①②④
解析：对于①，命题：“若，则”的逆命题是：“若，则”.
由，则或，故错误；
对于②，命题“若数列是等比数列，则”的否命题为：“若数列不是等比数列，则”.在数列中取，，，则数列不是等比数列，但，故错误；
对于③，命题“若，则关于x的方程有实根”的逆命题为：“若关于x的方程有实根，则”.
因为关于x的方程有实根，所以，解得，故正确；
对于④，因为，所以，所以原命题是假命题，故逆否命题也是假命题.
故答案为：①②④.
17．答案：（1）真命题，理由见解析
（2）假命题，理由见解析
解析：（1）真命题.理由：若，则，
故方程有实数根，命题是真命题.
（2）假命题.理由：因为当时，显然方程有实数根，
此时不满足，所以命题是假命题.
18．答案：（1）存在一个实数，它的绝对值不是非负数
（2）存在一个矩形，它的对角线不相等
解析：（1）命题“实数的绝对值是非负数”可改写成“所有实数的绝对值都是非负数”，所以它的否定为“存在一个实数，它的绝对值不是非负数”；
（2）命题“矩形的对角线相等”可改写成“所有矩形的对角线都相等”，所以它的否定为“存在一个矩形，它的对角线不相等”.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
则.
因为，所以解得，
即实数m的取值范围为.
（2）由或，得.
若“”是“”的充分不必要条件，则A是的真子集，
又，所以，
解得，所以实数m的取值范围为.
20．答案：（1）
（2）交换律：.证明见解析
（3）
解析：（2）交换律：.证明如下：
由题知，，
，
所以.
（3）若A中的元素，对任意，都有成立，由（2）知只需.
故，
即.
①若，显然有成立；
②若，则解得
所以当对任意，都有成立时，.
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