3.1 函数的概念 第二课时 教学设计

人教A版（2019）高中数学必修第一册
3.1.1 第2课时函数的概念教学设计
课题名 3.1.1 第2课时函数的概念
教学目标 1.理解函数相等的概念. 2.会求函数值. 3.会根据函数类型选择恰当方法求值域.
教学重点 理解函数相等的概念
教学难点 会根据函数类型选择恰当方法求值域
教学准备 教师准备：幻灯片、黑板、投影 学生准备：笔、纸、课本
教学过程 新课引入 1.函数的概念：设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在数集中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合地一个函数。 2.函数的三要素 ：定义域、值域、对应关系。 二、讲授新课 相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和 相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们 不是相同的函数． 【小试牛刀】 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　) (2)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．(　　) (3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．(　　) (1) √　(2)× (3)√　 题型一　函数相同 点拨：判断两个函数为同一函数的方法 判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. 例1 下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5). 其 中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号). 解：①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是相等函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是相等函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 【跟踪训练】1 与函数y＝x－1为同一函数的是(　　) A．y＝ B．m＝()2 C．y＝x－x0 D．y＝ 解：A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1. 题型二　求函数值 点拨：求函数值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则． 例2 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值. 解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝. 【跟踪训练】2 已知函数f(x)＝. (1)求f(2)；(2)求f(f(1)). 解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. (2)f(1)＝＝，f(f(1))＝f＝＝. 题型三　求函数值域 点拨：求函数值域常用的4种方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； ②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； ④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法． 例3 求下列函数的值域： y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； （2）y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； （3）y＝； (4)y＝x＋. 解：（1）(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． （2）(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)． （3）(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4)(换元法)设u＝，则x＝(u≥0)，∴y＝＋u＝(u≥0) 由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥.∴函数y＝x＋的值域为. 【跟踪训练】3 求下列函数的值域： (1)y＝－1； (2)y＝； (3)y＝2x－. 解：(1)(观察法)∵≥0，∴－1≥－1. ∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)． (2)(分离常数法) y＝＝ ＝＝－. ∵≠0， ∴y≠. ∴函数的值域为. （3）(换元法)设＝t，则t≥0，且x＝t2＋1. ∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝22＋.∵t≥0，∴y≥. 故函数的值域为. 三、课堂小结 1.函数相等的概念； 定义域和解析式相同 2. 函数的值； 3.求出函数的值域方法. 观察法、配方法、换元法、分离常数法 四、达标检测 1.下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1 C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(m)＝ 解析：A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同. 2.(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 解析： y＝的值域为[0，＋∞)， y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)． 3.函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 解析：由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，即0解： (1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2. ∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.∴所求函数的值域为[2,11)． (3)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以函数的值域为{y|y≠－5}． (4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为{y|y≥－}．
布置作业 完成对应课后练习
板书设计 1.函数相等的概念； 定义域和解析式相同 2. 函数的值； 3.求出函数的值域方法. 观察法、配方法、换元法、分离常数法
教学反思 学生基本上能掌握本节课内容，不过学生在求函数值域的时候还是会忘记考虑定义域。