北师大版2024-2025学年九年级数学上册 1.1菱形的性质与判定 拔高提升同步练习（含答案）

北师大版2024-2025学年九年级数学上册 1 菱形的性质与判定 拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为6和8，则边长CD的长为（　　）
A．6 B．8 C．14 D．5
2．（本题3分）在菱形中，对角线，相交于点．下列结论中不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．75
4．（本题3分）如图，在菱形中摆放了一副三角板．等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点E为的中点含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．的度数等于（ ）

A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在轴上，边在轴上，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为，点B，D之间的距离为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（　　）
A． B． C． D．﹣1
8．（本题3分）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．2
9．（本题3分）如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2
10．（本题3分）如图，菱形的边长为1，，E、F分别是边上的两个动点，且满足，设的面积为s，则s的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
12．（本题3分）如图，正方形的边长为1，点E是边AD上一点，且，点F是边上一个动点，连接EF，以为边作菱形，且，连接，点P为的中点，在点F从点A运动到点B的过程中，点运动所走的路径长为（ ）
A． B．1 C． D．
评卷人得分
二、填空题（共20分）
13．（本题4分）如图，已知菱形，通过测量、计算得菱形的面积约为 ．（结果保留一位小数）
14．（本题4分）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的周长是 ．

15．（本题4分）如图，四边形是平行四边形，过点A作于点E，于点F，连接，下列说法：①若，则平行四边形是菱形；②若是等边三角形，则；③若平行四边形是菱形，则．其中说法正确的是 ．（只需填写正确结论的序号）
16．（本题4分）如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为 ．
17．（本题4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD交于点O，BD＝4，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF＝3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF﹣PE的最大值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共94分）
18．（本题9分）如图，有一块三角形的铁皮
求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
19．（本题9分）已知：在中，.
求作：菱形.
作法：
① 延长，以点为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点；
② 延长，以点为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点；
③ 连接，，．
所以四边形即为所求作的菱形．

(1)使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：∵________，________，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形. ( ) (填推理的依据)
20．（本题10分）如图，四边形是菱形，．求的长及菱形的面积．

21．（本题10分）如图，在中，，，，动点在边上，，动点在射线上，．
(1)若点是边上一点，在点，运动过程中，是否存在的值，使得以，，，顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)如图，过点作交的延长线于点．过点作交的于点连接，把沿翻折得到，当与的一边平行时，的长______（直接写出答案）
22．（本题10分）如图，正方形的边长为2，以为边向正方形内作等边，连接、．
(1)求的度数；
(2)将沿直线向上翻折，得．求证：四边形是菱形．
23．（本题11分）如图，点D为的斜边的中点，连接，过点C作，连接，交于点O，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，点M、N分别为线段的中点，连接，求线段的长．
24．（本题11分）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，（、，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长 ；
(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积 ．
25．（本题12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数y＝的图象与边OC，AB分别交于点D，E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）当DM：ME＝1：2时，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方的平面内的一点，当以点O，M，D，N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点N的坐标．
26．（本题12分）定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形中，，则四边形 是“准筝形”．
(1)“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真”或“假”）
(2)如图1，在准筝形中，，，，求的长；
(3)如图2，在准筝形中，与交于点，点为线段的中点，且，，在线段上存在移动的线段，点在点的左侧，且，当四边形周长最小时，求的长度．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
2．D
3．A
4．C
5．D
6．A
7．D
【分析】直接利用勾股定理得出PC的长，进而得出答案．
【详解】由题意可得：PC＝2，BC＝1，则在Rt△PCB中，
PC2+BC2＝PB2，
故PB＝，
则PD＝，
故点D表示的数为：﹣1．
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，正确得出PC的长是解题关键．
8．C
9．B
10．D
11．B
12．A
13．
14．
15．①②③
16．
17．1
18．作图见解析.
【分析】先作∠ACB的平分线，交AB于点D，再以点D为顶点作∠CDP=∠DCB、∠CDQ=∠DCA，分别交AC、BC于点E、F，据此即可得．
【详解】如图所示，菱形CEFD即为所求．
【点睛】考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及角平分线、作一个角等于已知角的尺规作图．
19．(1)见解析
(2)，，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】（1）根据题目提示作法即可完成作图；
（2）根据菱形的判定定理即可求证．
【详解】（1）解：作图如下图：

（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴.
∴平行四边形是菱形. (对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
故答案为：，，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
20．的长为，菱形的面积为
【分析】根据菱形的性质可得是等边三角形，，在中，根据含特殊角的直角三角形的性质可求出的长，由此可求出的长，根据菱形的面积的计算方法即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，菱形的面积为．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)存在，满足条件的的值为或
(2)或或
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，折叠的性质，矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及分类讨论的思想：
（1）分点在线段上和点在的延长线上两种情况，过点作于，求出的长，根据平行四边形的性质求解即可；
（2）分、、三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图中，当点在线段上时，即时，四边形是平行四边形，
过点作于．
由题意，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图中，当点在的延长线上时，即时，四边形是平行四边形，
同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：如图中，当时，过点作于．
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
由题意，四边形是菱形，
，
，
．
如图中，当时，设交于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图中，当时，四边形是菱形，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或．
22．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折的性质，等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质证明，求出，即可求出答案；
（2）根据全等的性质以及翻折的性质证明，即可证明结论．
【详解】（1）解：四边形是正方形，是正三角形，
，
，
，，，
，
∴，
，
；
（2）证明：将沿直线向上翻折，得，
，
，
，
，
四边形是菱形．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键．
（1）先证明四边形为平行四边形，再证明即可证明结论；
（2）根据直角三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得为等边三角形，进而求得、、，如图：过N作,再求得、，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵点D为的斜边的中点，连接，
∴，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵点D为的斜边的中点，连接，
∴，
∵在中，，，
∴,
∴，即，
∵四边形为菱形，
∴,,,
∴为等边三角形，,
∴,即,
∴,
∵点M、N分别为线段的中点，
∴，，
如图：过N作,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)，；
(2)①仍然成立，见解析；②
(3)或
【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论；
（2）①（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可；
②根据已知得出，进而根据①可得，根据，勾股定理，即可求解；
（3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论．
【详解】（1）解：如图1，连接，延长交于点，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，；
是等边三角形，
，，
，
，
；
四边形是菱形，
，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）（1）中的结论：， 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接，设与交于，
菱形，，
和都是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（1）中的结论：， 仍然成立；
②如图所示，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
故答案为：．
（3）如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于，
四边形是菱形，
平分，
，，
，
，，
，
由（2）知，
，
，
，，
，
由（2）知，
，
，
，
是等边三角形，
，
如图中，当点在的延长线上时，同法可得，

∴．
【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来．
25．（1）3；（2）M（1，）；（3）N（，）或N （﹣，）．
【分析】（1）分别表示出D和E点的坐标，根据OD＝BE列出等式即可求出b的值；
（2）过点E作EF⊥OC于F，过点M作MP⊥OC于P，求出DE的长，再设M（a，3﹣a），由DP2＋MP2＝DM2列出等式即可求出M的坐标；
（3）设M（m，3﹣m），分当OD为菱形一边时和当OD为菱形一条对角线时两种情况，根据菱形邻边相等或对角线的对称性等特点找到等量列出等式即可求出M点坐标，从而再找到N的坐标．
【详解】解：（1）由题知：A（3，0），C（0，4），D（0，b），E（3，b﹣2），
∵OD＝BE，
∴b＝4﹣（b﹣2），
∴b＝3；
（2）过点E作EF⊥OC于F，过点M作MP⊥OC于P，如图所示，
由（1）得，D（0，3），E（3，1）
由勾股定理得，DE＝，
∵DM：ME＝1：2，
∴DM＝DE＝，
设点M（a，3﹣a），由DP2＋MP2＝DM2得（3＋a﹣3）2＋a2＝（）2，
解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去），
∴M（1，）；
（3）N1（，），N2（﹣，），理由如下：
设M（m，3﹣m），
①当OD为菱形一边时，OD＝OM，如图所示：
∴m2＋（3﹣m）2＝32，
解得，m＝＜3或m＝0（不合题意，舍去），
∴M（，）
在线段DE上，过点M作MNOD，MN＝OD，则四边形OMND是菱形，
则点N为所求，N（，）；
②当OD为菱形一条对角线时，过OD中点P作PM⊥OD交直线CE于点M （c，），
∴＝﹣c＋3，
∴c＝＜3，
∴点M （，）在线段DE上，
当点N与点M关于y轴对称时，四边形OMDN是菱形，
∴N （﹣，），
综上，符合条件的点N有两个，其坐标分别为N（，）或N （﹣，）．
【点睛】本题属于一次函数综合大题，考查了一次函数基本性质，坐标的变化规律以及菱形的基本性质等知识，熟练掌握好一次函数的基本性质以及平面直角坐标系中点的综合变化，并能将菱形特点与平面直角坐标系坐标变化相互结合，灵活运用是解决本题的关键．
26．(1)真
(2)
(3)
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一可证，，从而四边形是平行四边形，又，从而证明出菱形；
（2）运用勾股定理可得，代入即可计算；
（3）以为原点建立平面直角坐标系，求出点的坐标，过点作轴，令，则四边形为平行四边形，得出，作点关于轴对称点，则，连接，当，，三点共线时，，求出点坐标即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴“三条边相等的准筝形是菱形”是真命题．
故答案为：真．
（2）∵，
∴，，
，，
∴，
∵，，，
∴，
∴或（舍去）．
∴的长为．
（3）∵点为线段的中点，，
∴，
又∵，
∴当时，四边形周长最小，
如图，以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
∵，，，
∴在，，
∴，，
∴，
过点作轴，使，连接，
∴四边形为平行四边形，，
得出，
作点关于轴对称点，则，连接，
∴当，，三点共线时，，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
解得：，
即，
∴．
∴的长度为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了新定义“准筝形”，菱形的判定，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，平行四边形的判定和性质，用待定系数法确定一次函数及一次函数图像与坐标轴的交点坐标，中点的坐标等知识．利用代数方法解决几何问题是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页