第三章二次函数 章末复习（含答案）
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二次函数
章末复习
类型一 对函数的再认识
1.某链条每节长为3.5cm, 每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.1cm，按照这种连接方式，x 节链条总长度为y cm,则 y与x 的关系式是 ( )
2.函数 中，自变量x的取值范围是 ( )
类型二 次函数的图象及性质
3.若三点(-2,y ),(1,y ),(3,y )都在二次函数 的图象上，则( )
4.把抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移5 个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ( )
5.如图, 在平面直角坐标系中，二次函数 0)与x 轴交于 A(m,0)(m<0),B(n,0),e,f 是方程 的两个根，且 则下列不等式正确的是 ( )
6.点 A(m,n)在二次函数 的图象上，则的最大值是 ( )
A.4 B.5 C.-4 D.-5
7.已知经过点且对称轴为的二次函数的图象如图所示，下列结论：.其中正确结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
类型二 次函数的应用
8.如图，△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8cm ,AC=6 cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 方向以 2cm /s的速度向点 B 运动;同时点 Q 从点 A 出发,沿AC方向以1cm/s的速度向点 C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形 APQ的最大面积是 ( )
9.如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱的最高点 C，高度为 3 m，与A 的水平距离为1m，水柱落地点 D 与A 的水平距离为4m ，则水管的顶端 B 距水面的高度AB 为( )
10.如图，利用一面墙(墙长 20米),用总长 43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍 ABCD，且中间共留两个 1米的小门.
设篱笆 BC 长为x 米.
米；(用含 x的代数式表示)
(2)矩形鸡舍 ABCD的面积的最大值是多少 说明理由.
11.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为 40元，在销售过程中发现，月销量 y(台)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的 2 倍，其部分对应数据如表所示：
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
12.城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图1是项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池.图2 是主视示意图.喷水装置OA 的高度是 2米，水流从喷头 A 处喷出后呈抛物线形落入水池内.当水流在与喷头水平距离为 2米时达到最高点 B，此时距路面的最大高度为 3.6米.为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点 M处，另一端与路面的垂直高度 NC 为 1.8米，且与喷泉水流的水平距离 ND 为 0.3米.点C 到水池外壁的水平距离( 米，求步行通道的宽 OE.(结果精确到 0.1米；参考数据：
类型四二 次函数的综合
13.在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 A(-1,0)和 B(0,3),其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线x=m 与x轴交于点 N，在第一象限内与抛物线交于点 M，当m取何值时，使得 有最大值，并求出最大值；
(3)若点 P 为抛物线 0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点 M，是否能与A，P，Q构成平行四边形 若能构成，求出 Q点坐标；若不能构成，请说明理由.
14.已知抛物线 与 x 轴交于A(-2,0),B(6,0)两点,与 y 轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 为直线 BC下方的抛物线上一个动点，当 面积最大时，求点 P 的坐标；
(3)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP,交 BC 于点 M,当 最大时，求点 P的横坐标及 的最大值.
易错点一 忽略二次项系数不为零产生错误
15.若关于x的二次函数 的图象与x轴有2个公共点，则m的取值范围是___________.
易错点二 求最值忽略自变量的取值范围产生错误
16.二次函数 的最小值是________，最大值是_______.
17.已知实数满足则代数式 的最小值是__________.
参考答案
1. C 2. D 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. B 9. D
10.解:(1)设篱笆 BC长为x米,
∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个 1 米的小门，
米.
故答案为:(45-3x);
(2)由题意，得 ∴对称轴是直线
∵0∵抛物线的开口向下，x的取值在抛物线对称轴的右侧，在对称轴右侧 S随x 的增大而减小，∴当x取最小值时，S取最大值 时， 所以，鸡舍ABCD 面积最大为 平方米.
11.解:(1)设月销量 y(台)与销售单价x(元)之间满足的一次函数关系式为 y= kx+b，把(50,90)和(60,80)代入，得 解得
∴
(2)∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，
设每月出售这种护眼灯所获的利润为W元，
由题意，得 2500,
∴当护眼灯销售单价定为 80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为 元.
12.解：如图，以点O为坐标原点，OC 所在直线为x轴，OA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
由题意知A(0,2),B(2,3.6),
∵抛物线的最高点为 B，∴设抛物线的表达式为
把 A(0,2)代入,得 解得a=-0.4,
∴抛物线的表达式为
当 时， 解得 (负值已舍去)，
0.6≈3.2(米).
所以，步行通道的宽OE的长约为 3.2米.
13.解：(1)∵抛物线的顶点横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线 x=1.
∵点 A的坐标为(-1,0),∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0).
将(-1,0),(3,0),(0,3)代入 得 解得
∴抛物线的表达式为
(2)∵直线x=m与x轴交于点 N，在第一象限内与抛物线交于点 M，
∴点 M的坐标为 点 N的坐标为(m,0),
∵,∴当 时， 有最大值，最大值为
(3)当 时， ∴点 M的坐标为
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为
假设存在以 A，P，Q，M为顶点的平行四边形,设点 P 的坐标为(1,t),点Q的坐标为
①当AM为对角线时，对角线 AM，PQ互相平分，
解得 ∴点 Q的坐标为
②当AP 为对角线时，对角线 AP，MQ互相平分，
解得 ∴点 Q的坐标为
③当AQ为对角线时，对角线 AQ，PM互相平分，
解得 ∴点 Q的坐标为
综上所述，存在以 A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为 或
或
14.解:(1)将点 A(-2,0),B(6,0),C(0,-3)代入
得 解得
∴抛物线的表达式为
(2)过点 P作直线 轴,交 BC于点 H,如图1.
设直线 BC的表达式为
解得
设 则
故 面积有最大值，
∴当 时， 面积有最大值，此时点
(3)如图 2,过点 A 作轴交直线 BC于点 E,过点 P 作. 轴交直线 BC 于点 F.
∥
设 则 3).
∵A(-2,0), ∴AE=4,
∴当m=3时, 有最大值 此时
所以，当点 P 的横坐标为 3 时， 有最大值
15. 16.-5 1
17.58 解析:
则
∵∴当 时取得最小值，最小值为
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二次函数
章末复习
类型一 对函数的再认识
1.某链条每节长为3.5cm, 每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.1cm，按照这种连接方式，x 节链条总长度为y cm,则 y与x 的关系式是 ( )
2.函数 中，自变量x的取值范围是 ( )
类型二 次函数的图象及性质
3.若三点(-2,y ),(1,y ),(3,y )都在二次函数 的图象上，则( )
4.把抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移5 个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ( )
5.如图, 在平面直角坐标系中，二次函数 0)与x 轴交于 A(m,0)(m<0),B(n,0),e,f 是方程 的两个根，且 则下列不等式正确的是 ( )
6.点 A(m,n)在二次函数 的图象上，则的最大值是 ( )
A.4 B.5 C.-4 D.-5
7.已知经过点且对称轴为的二次函数的图象如图所示，下列结论：.其中正确结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
类型二 次函数的应用
8.如图，△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8cm ,AC=6 cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 方向以 2cm /s的速度向点 B 运动;同时点 Q 从点 A 出发,沿AC方向以1cm/s的速度向点 C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形 APQ的最大面积是 ( )
9.如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱的最高点 C，高度为 3 m，与A 的水平距离为1m，水柱落地点 D 与A 的水平距离为4m ，则水管的顶端 B 距水面的高度AB 为( )
10.如图，利用一面墙(墙长 20米),用总长 43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍 ABCD，且中间共留两个 1米的小门.
设篱笆 BC 长为x 米.
米；(用含 x的代数式表示)
(2)矩形鸡舍 ABCD的面积的最大值是多少 说明理由.
11.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为 40元，在销售过程中发现，月销量 y(台)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的 2 倍，其部分对应数据如表所示：
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
12.城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图1是项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池.图2 是主视示意图.喷水装置OA 的高度是 2米，水流从喷头 A 处喷出后呈抛物线形落入水池内.当水流在与喷头水平距离为 2米时达到最高点 B，此时距路面的最大高度为 3.6米.为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点 M处，另一端与路面的垂直高度 NC 为 1.8米，且与喷泉水流的水平距离 ND 为 0.3米.点C 到水池外壁的水平距离( 米，求步行通道的宽 OE.(结果精确到 0.1米；参考数据：
类型四二 次函数的综合
13.在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 A(-1,0)和 B(0,3),其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线x=m 与x轴交于点 N，在第一象限内与抛物线交于点 M，当m取何值时，使得 有最大值，并求出最大值；
(3)若点 P 为抛物线 0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点 M，是否能与A，P，Q构成平行四边形 若能构成，求出 Q点坐标；若不能构成，请说明理由.
14.已知抛物线 与 x 轴交于A(-2,0),B(6,0)两点,与 y 轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 为直线 BC下方的抛物线上一个动点，当 面积最大时，求点 P 的坐标；
(3)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP,交 BC 于点 M,当 最大时，求点 P的横坐标及 的最大值.
易错点一 忽略二次项系数不为零产生错误
15.若关于x的二次函数 的图象与x轴有2个公共点，则m的取值范围是___________.
易错点二 求最值忽略自变量的取值范围产生错误
16.二次函数 的最小值是________，最大值是_______.
17.已知实数满足则代数式 的最小值是__________.
参考答案
1. C 2. D 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. B 9. D
10.解:(1)设篱笆 BC长为x米,
∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个 1 米的小门，
米.
故答案为:(45-3x);
(2)由题意，得 ∴对称轴是直线
∵0
11.解:(1)设月销量 y(台)与销售单价x(元)之间满足的一次函数关系式为 y= kx+b，把(50,90)和(60,80)代入，得 解得
∴
(2)∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，
设每月出售这种护眼灯所获的利润为W元，
由题意，得 2500,
∴当护眼灯销售单价定为 80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为 元.
12.解：如图，以点O为坐标原点，OC 所在直线为x轴，OA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
由题意知A(0,2),B(2,3.6),
∵抛物线的最高点为 B，∴设抛物线的表达式为
把 A(0,2)代入,得 解得a=-0.4,
∴抛物线的表达式为
当 时， 解得 (负值已舍去)，
0.6≈3.2(米).
所以，步行通道的宽OE的长约为 3.2米.
13.解：(1)∵抛物线的顶点横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线 x=1.
∵点 A的坐标为(-1,0),∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0).
将(-1,0),(3,0),(0,3)代入 得 解得
∴抛物线的表达式为
(2)∵直线x=m与x轴交于点 N，在第一象限内与抛物线交于点 M，
∴点 M的坐标为 点 N的坐标为(m,0),
∵,∴当 时， 有最大值，最大值为
(3)当 时， ∴点 M的坐标为
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为
假设存在以 A，P，Q，M为顶点的平行四边形,设点 P 的坐标为(1,t),点Q的坐标为
①当AM为对角线时，对角线 AM，PQ互相平分，
解得 ∴点 Q的坐标为
②当AP 为对角线时，对角线 AP，MQ互相平分，
解得 ∴点 Q的坐标为
③当AQ为对角线时，对角线 AQ，PM互相平分，
解得 ∴点 Q的坐标为
综上所述，存在以 A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为 或
或
14.解:(1)将点 A(-2,0),B(6,0),C(0,-3)代入
得 解得
∴抛物线的表达式为
(2)过点 P作直线 轴,交 BC于点 H,如图1.
设直线 BC的表达式为
解得
设 则
故 面积有最大值，
∴当 时， 面积有最大值，此时点
(3)如图 2,过点 A 作轴交直线 BC于点 E,过点 P 作. 轴交直线 BC 于点 F.
∥
设 则 3).
∵A(-2,0), ∴AE=4,
∴当m=3时, 有最大值 此时
所以，当点 P 的横坐标为 3 时， 有最大值
15. 16.-5 1
17.58 解析:
则
∵∴当 时取得最小值，最小值为
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