第三章 二次函数 6 二次函数的应用 第3课时 二次函数与抛物线形问题（含答案）
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| 名称 | 第三章 二次函数 6 二次函数的应用 第3课时 二次函数与抛物线形问题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 5.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-30 07:29:55 | ||
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第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第3课时 二次函数与抛物线形问题
1.如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间满足函数关系 h=20t-5t .则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为 ( )
A.2 秒 B.3秒 C.4秒 D.5 秒
第1题图 第 2题图
2.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点 O为原点，水平直线OB 为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且 AC⊥x轴，若 5米，则桥面离水面的高度AC 为 ( )
A.5米 B.4 米 C.2.25米 D.1.25 米
3.如图, 小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面 ABC 是 抛 物线 的一部分，则杯口的口径 AC长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.2023 年 5月 28 日,C919 商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12 时31分，航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗
尘”，是国际民航中高级别的礼仪).如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2，当两辆消防车喷水口 A，B的水平距离为80 米时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇.此时相遇点 H 距地面20米，喷水口 A，B距地面均为 4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米.
5.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为 3 m，那么水管的设计高度应为_________.
6.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽 6 米，水面下降________米，水面宽8米.
7.乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图 2 是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以OA=28.75 cm的高度,将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.
乒乓球到球台的竖直高度记为 y(单位： cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位： cm)，测得数据如表所示：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________ cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________ cm；
②求满足条件的抛物线表达式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 OA 的取值范围，以利于有针对性的训练.如图2，乒乓球台的长OB 为274 cm,球网的高 CD为15.25 cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度 OA的值约为1.27 cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B 处时，击球高度 OA的值(乒乓球大小忽略不计).
8.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上,球网AB与y 轴的水平距离OA=3m,CA=2m,击球点 P 在 y轴上.若选择扣球, 羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系 y=-0.4x+2.8;若选择吊球，羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系
(1)求点 P 的坐标和a 的值;
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
9.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1 m长.嘉嘉在点 A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线( 的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分.
(1)写出( 的最高点坐标，并求 a，c的值；
(2)若嘉嘉在x 轴上方 1m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
10.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线形拱门的跨度 拱高 PE=4m .其中,点 N 在 x 轴上,PE⊥ON,OE=EN.
方案二，抛物线形拱门的跨度 拱高 其中，点N'在x 轴上，
要在拱门中设置高为 3m 的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方
案一中，矩形框架 ABCD的面积记为点 A,D在抛物线上,边 BC 在ON 上;方案二中，矩形框架 A'B'C'D'的面积记为S ,点 A',D'在抛物线上,边 B'C'在上.现知，小华已正确求出方案二中，当时， 请你根据以上提供的相关信息，回答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m 时，求矩形框架 ABCD 的面积S 并比较 S ,S 的大小.
参考答案
1. C 2. C 3. B 4.19
7.解：(1)描出各点，画出图象如图：
(2)①观察表格数据，得当x=50和 时，函数值相等，
∴对称轴为直线
∵抛物线开口向下,当x=90时,y=49,
∴乒乓球在最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49 cm,
当y=0时,x=230,∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 230 cm;
故答案为:49;230;
②设抛物线表达式为 将(230,0)代入,得 解得 a=-0.0025,
∴抛物线表达式为 49;
(3)当 时，抛物线的表达式为
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B处时，击球高度 OA 的值为 h，则平移距离为(h-28.75) cm,
∴平移后的抛物线的表达式为
当x=274时,y=0, 解得h=64.39;
所以，乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B 处时,击球高度 OA 的值为64.39 cm.
8.解:(1)在 中，令 得 ∴点 P 的坐标为(0,2.8);
把 P(0,2.8)代入 得 解得
∴a的值是
∴C(5,0),
在 中，令 得
在 中，令 得 (舍去)或
∴选择吊球方式，球的落地点到 C 点的距离更近.
9.解:(1)∵抛物线 ∴C 的最高点坐标为(3,2),
∵点 A(6,1)在抛物线 上，
∴抛物线 当 时，
(2)∵嘉嘉在 x轴上方 1m 的高度上，且到点A水平距离不超过 1m 的范围内可以接到沙包，
设嘉嘉在点 Q处接到沙包，则点 Q的坐标范围是(5,1)～(7,1),
当抛物线 经过(5,1)时, 解得
当抛物线 经过(7,1)时, 7+1+1,解得
∵n为整数，∴符合条件的 n的整数值为 4 和 5.
10.解：(1)由题意，得方案一中抛物线的顶点为P(6,4),
设抛物线的函数表达式为
把O(0,0)代入,得 解得
∴方 案 一中 抛物线的 函数 表 达 式为
(2)在 中，令 得解得. 或
∴
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第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第3课时 二次函数与抛物线形问题
1.如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间满足函数关系 h=20t-5t .则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为 ( )
A.2 秒 B.3秒 C.4秒 D.5 秒
第1题图 第 2题图
2.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点 O为原点，水平直线OB 为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且 AC⊥x轴，若 5米，则桥面离水面的高度AC 为 ( )
A.5米 B.4 米 C.2.25米 D.1.25 米
3.如图, 小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面 ABC 是 抛 物线 的一部分，则杯口的口径 AC长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.2023 年 5月 28 日,C919 商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12 时31分，航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗
尘”，是国际民航中高级别的礼仪).如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2，当两辆消防车喷水口 A，B的水平距离为80 米时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇.此时相遇点 H 距地面20米，喷水口 A，B距地面均为 4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米.
5.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为 3 m，那么水管的设计高度应为_________.
6.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽 6 米，水面下降________米，水面宽8米.
7.乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图 2 是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以OA=28.75 cm的高度,将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.
乒乓球到球台的竖直高度记为 y(单位： cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位： cm)，测得数据如表所示：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________ cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________ cm；
②求满足条件的抛物线表达式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 OA 的取值范围，以利于有针对性的训练.如图2，乒乓球台的长OB 为274 cm,球网的高 CD为15.25 cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度 OA的值约为1.27 cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B 处时，击球高度 OA的值(乒乓球大小忽略不计).
8.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上,球网AB与y 轴的水平距离OA=3m,CA=2m,击球点 P 在 y轴上.若选择扣球, 羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系 y=-0.4x+2.8;若选择吊球，羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系
(1)求点 P 的坐标和a 的值;
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
9.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1 m长.嘉嘉在点 A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线( 的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分.
(1)写出( 的最高点坐标，并求 a，c的值；
(2)若嘉嘉在x 轴上方 1m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
10.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线形拱门的跨度 拱高 PE=4m .其中,点 N 在 x 轴上,PE⊥ON,OE=EN.
方案二，抛物线形拱门的跨度 拱高 其中，点N'在x 轴上，
要在拱门中设置高为 3m 的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方
案一中，矩形框架 ABCD的面积记为点 A,D在抛物线上,边 BC 在ON 上;方案二中，矩形框架 A'B'C'D'的面积记为S ,点 A',D'在抛物线上,边 B'C'在上.现知，小华已正确求出方案二中，当时， 请你根据以上提供的相关信息，回答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m 时，求矩形框架 ABCD 的面积S 并比较 S ,S 的大小.
参考答案
1. C 2. C 3. B 4.19
7.解：(1)描出各点，画出图象如图：
(2)①观察表格数据，得当x=50和 时，函数值相等，
∴对称轴为直线
∵抛物线开口向下,当x=90时,y=49,
∴乒乓球在最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49 cm,
当y=0时,x=230,∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 230 cm;
故答案为:49;230;
②设抛物线表达式为 将(230,0)代入,得 解得 a=-0.0025,
∴抛物线表达式为 49;
(3)当 时，抛物线的表达式为
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B处时，击球高度 OA 的值为 h，则平移距离为(h-28.75) cm,
∴平移后的抛物线的表达式为
当x=274时,y=0, 解得h=64.39;
所以，乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B 处时,击球高度 OA 的值为64.39 cm.
8.解:(1)在 中，令 得 ∴点 P 的坐标为(0,2.8);
把 P(0,2.8)代入 得 解得
∴a的值是
∴C(5,0),
在 中，令 得
在 中，令 得 (舍去)或
∴选择吊球方式，球的落地点到 C 点的距离更近.
9.解:(1)∵抛物线 ∴C 的最高点坐标为(3,2),
∵点 A(6,1)在抛物线 上，
∴抛物线 当 时，
(2)∵嘉嘉在 x轴上方 1m 的高度上，且到点A水平距离不超过 1m 的范围内可以接到沙包，
设嘉嘉在点 Q处接到沙包，则点 Q的坐标范围是(5,1)～(7,1),
当抛物线 经过(5,1)时, 解得
当抛物线 经过(7,1)时, 7+1+1,解得
∵n为整数，∴符合条件的 n的整数值为 4 和 5.
10.解：(1)由题意，得方案一中抛物线的顶点为P(6,4),
设抛物线的函数表达式为
把O(0,0)代入,得 解得
∴方 案 一中 抛物线的 函数 表 达 式为
(2)在 中，令 得解得. 或
∴
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