安徽省合肥市滨湖寿春中学2023-2024学年高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省合肥市滨湖寿春中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小明通过某次考试的概率是未通过的倍，令随机变量，则( )
A. B. C. D.
2.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
3.已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
4.若的展开式的常数项为，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
5.某高中期中考试需要考查九个学科语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理，已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率假设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球现从甲袋中任取个球放入乙袋，再从乙袋中任取个球已知从乙袋中取出的是个红球，则从甲袋中取出的也是个红球的概率为( )
A. B. C. D.
7.若函数，仅有一个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是( )
A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
10.下列说法正确的是( )
A. 的展开式中，常数项是第项
B. 在的展开式中，含的项的系数为
C. 的展开式的第项的二项式系数为
D. 在的展开式中，含的项的系数是
11.设函数，，给定下列命题，其中正确的是( )
A. 若方程有两个不同的实数根，则
B. 若方程恰好只有一个实数根，则
C. 若，总有恒成立，则
D. 若函数有两个极值点，则实数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则 ______．
13.抛掷骰子次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设，，则等于______．
14.已知函数，若恒成立，则的取值范围是______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线的方程；
求函数的极值．
16.本小题分
榴莲是一种广泛种植于东南亚的热带水果，富含多种营养成分榴莲因其独特的香味和口感在世界范围内广受欢迎，被誉为“水果之王”近年来，我国农业专家攻克了榴莲种植难题，在广东、海南等地开始推广种植榴莲，拓宽了农民的致富之路海南省三亚市幸福村是榴莲种植村，为提高村民的收入，该村开展了“游果园、吃榴莲”的乡村休闲旅游活动，吸引了大量游客前往某周日该村的村民采摘了个榴莲供游客免费品尝，其中个一级榴莲，个二级榴莲一级榴莲的品质胜过二级榴莲．
若将这个榴莲分别装在甲、乙两个箱子中，其中甲箱装有个一级榴莲，个二级榴莲，乙箱装有个一级榴莲，个二级榴莲，先从甲箱中任取个榴莲放入乙箱，再从乙箱中任取个榴莲，求从乙箱中取出的恰好是一级榴莲的概率；
现从这个榴莲中随机选出个榴莲供上午点前到达的游客品尝，记其中一级榴莲的个数为，求的分布列．
17.本小题分
已知函数．
若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围；
如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在杨辉三角形中，从第行开始，除以外，其它每一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如右图所示．
证明：；
求证：第斜列中从右上到左下的前个数之和一定等于第斜列中的第个数，即
在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为：：？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：
，且满足：
，，，，
注：，，，，
已知函数．
求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到；
在的条件下：
求证：；
若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：函数定义域为．
且
，
曲线在点处的切线斜率，
又，则切点为，
所求切线方程为即．
，又，
由，得或，
当和时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增．
由的单调性知：，
．
16.解：根据题意，设从甲箱中取出一级榴莲为事件，从乙箱中取出一级榴莲为事件，
则，，
，，
故；
根据题意，可取的值为、、，
，，，
故的分布列为；



17.解：函数的定义域为，
，令，得．
当时，， 单调递增；
当时，， 单调递减．
所以为函数 的极大值点，且是唯一的极值点，
所以，故，即正实数的取值范围为
当时，恒成立，
令，
则，
再令 ，
则，
所以，所以，
所以为单调增函数，所以，
故，即实数的取值范围是．
18.解：
．
所以原式成立．
由得
左边
右边，
原命题成立．
设在第行的第，，个数满足：：，
即，
解得三个数依次为，，．
19.解：由题可知函数在处的阶帕德近似，
，，
由得，，
则，又由得，
，
由得，
，
；
证明：令，，
，
在及上均单调递减．
当，，即，而，
，即；
当，，即，而，
，即，
由可得不等式恒成立；
由得在上恒成立，
令，且，是的极大值点．
又，故，则，
当时，，
，
当，则，故在上单调递增，
当时，，
当时，，
令，，在上单调递减，
，又在上，
故当时，．
综上，当时，恒成立．
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