北京市丰台区某中学2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市丰台区某中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.计算：( )
A. B. C. D.
3.若，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知，则“”是“”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
6.设，则函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除现已知的质量随时间年的指数衰减规律是：其中为的初始质量则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为参考数据：，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
9.已知角终边上一点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
10.已知是定义在上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.命题“对任意，都有”的否定为______．
12.函数的定义域为______．
13.已知幂函数的图像经过点，则 ______．
14.已知函数，且该函数图像的对称轴与对称中心的最小距离为，则可得 ______；若当时，的最大值为，则该函数的解析式为______．
15.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确序号有______．
为奇函数；
函数的图象关于点对称；
在上单调递增；
若函数在上没有零点，则．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设集合，；
当时，求，．
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知不等式的解集为．
求实数，的值；
若，，且，求的最小值．
18.本小题分
如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点，在单位圆上，其中点在第一象限，且，记，．
若，求点的坐标；
若点的坐标为，求的值．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
求出当时，的解析式；
如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
结合函数图象，求当时，函数的值域．
20.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间和最小正周期．
若当时，关于的不等式_____，求实数的取值范围请选择和中的一个条件，补全问题，并求解其中，有解；恒成立．
注：若选择两个条件解答，则按照第一个解答计分．
21.本小题分
已知函数的定义域为，且对任意的正实数，都有，且当时，，，
求证：；
求；
解不等式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.，
12.
13.
14.
15.
16.解：当时，，；
．
因为，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，的取值范围是
17.解：因为的解集为，
所以和为方程的两个实根，二次项系数不为，
根据韦达定理，则有，解得．
当，时，的解集为，符合题意．
综上，，．
由可知，，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
18.解：若，
则，，
所以点，
若点的坐标为，
因为，点在第一象限，
所以，
即，
则，
因为，
所以，
所以，
所以．
19.解：依题意，设，则，
于是，
因为为上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
由已知及得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：，．
当时，由，知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而当时，有，
所以，当时，函数的值域为．
20.解：因为，所以函数的最小正周期．
因为函数的单调递增区间为，
所以，解得，所以函数的单调递增区间为．
若选择：由题意可知，不等式有解，即．
因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以，即；
若选择：由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以故当，即时，取得最小值，且最小值为，
所以，即．
21.解：证明：令，，则．
．
，，
故．
设，且，于是，
为上的增函数．
又，
．
原不等式的解集为．
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