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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1-3章综合培优训练卷1
考试时间:120分钟 满分:120分
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.已知⊙O的半径为5,点P在⊙O外,则OP的长可能是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.一只盒子中有红球m个,白球8个,黑球n个,每个球除颜色外都相同,从中任取一个球,取得白球的概率与不是白球的概率相同,那么m与n的关系是( )
A.m=3,n=5 B.m=n=4 C.m+n=4 D.m+n=8
3.二次函数y=(x﹣1)2﹣3的最小值是( )
A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣3
4.若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2,-3),则必在该图象上的点还有( )
A.(-3,-2) B.(2,3) C.(2,-3) D.(-2,3)
5.如图,在中,,则的度数为( )
A. B. C. D.
(第5题) (第8题) (第9题) (第10题)
6.下列说法正确的是( )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.不在同一直线上的三点确定一个圆
C.直径是弦,弦是直径
D.长度相等的弧是等弧
7. 已知抛物线y=x2-2mx(-1≤m≤2)经过点A(p,t)和点B(p+2,t),则t的最小值是( )
A.-3 B.-1 C.0 D.1
8.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,⊙P是△ABC的外接圆,连结PA.若AD=3,BD=1,BC=5,则PA的长( )
A.2.5 B. C. D.2.8
9.如图,二次函数的图象过点,对称轴为直线,下列结论:①;②;③;④当时,的取值范围是;其中正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.如图,是的直径,为半径,过点作交于点,连结,,,连结交于点,交于点,则下列结论:
①; ②若F为中点,则;
③作交于点,则; ④若,则;
其中正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球,其中黄球有6个.将袋中的球摇匀后,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则袋中小球的个数为 .
12.把抛物线先向左平移1个单位,再向上平移3个单位,则平移后的抛物线表达式为 .
13.如图,有长为24m的篱笆,一边利用墙(墙长不限),则围成的花圃ABCD的面积最大为 m2.
(第13题) (第14题) (第15题)
14. 如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
15.如图,在半径为2的扇形中,,将扇形沿过点B的直线折叠,点O恰好落在弧上,折痕交于点C,则图中阴影部分的周长是 .
16.点,都在二次函数的图象上.若,则的取值范围为 .
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点D作x轴的平行线交抛物线于E、F两点,求EF的长.
18.如图,AB为⊙O的直径,D是弦AC延长线上一点,AC=CD,DB的延长线交⊙O于点E,连接CE.
(1)求证∠A=∠D;
(2)若的度数为108°,求∠E的度数.
19.一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球,其中1个黄球、2个红球.
(1)任意摸出1个球,记下颜色后不放回,再任意摸出1个球,求两次摸出的球恰好都是红球的概率(要求画树状图或列表);
(2)现再将n个黄球放入布袋,搅匀后,使任意摸出1个球是黄球的概率为,求n的值.
20.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O上的点,且OD∥BC,AC分别与BD,OD相交于点E,F.
(1)求证:点D为的中点;
(2)若DF=4,AC=16,求⊙O的直径.
21.如图,已知为的直径,是弦,于E,于F,连接,,.
(1)求证:;
(2)若,求的值及阴影部分的面积.
22.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,已知AB=10,AE=8,点P为AB上任意一点,(点P不与A、B重合),连结CP并延长与⊙O交于点Q,连结QD,PD,AD.
(1)求CD的长.
(2)若CP=PQ,直接写出AP的长.
(3)①若点P在A,E之间(点P不与点E重合),求证:∠ADP=∠ADQ.
②若点P在B,E之间(点P不与点E重合),求∠ADP与∠ADQ满足的关系.
23.如图1,AB为⊙O的直径,CD⊥AB于点E,,BF与CD交于点G.
(1)求证:CD=BF.
(2)若BE=1,BF=4,求GE的长.
(3)连结GO,OF,如图2,求证:.
24.定义:若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点,则称该点为这个函数图象的“互逆点”
(1)若点M(-2,m)是一次函数y=kx+6的图象上的“互逆点”,则k= 若点N(n,-n)是函数y的图象上的“互逆点”,则n=
(2)若点P(p,3)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”,求这个二次函数的表达式;
(3)若二次函数y=ax2+bx+c(a,b是常数,a>0)的图象过点(0,2),且图象上存在两个不同的“互逆点”A(x1,-x1),B(x2,-x2),且满足-121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1-3章综合培优训练卷1
解析版
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.已知⊙O的半径为5,点P在⊙O外,则OP的长可能是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】当点P是⊙O外一点时,OP>5cm,A、B、C均不符题意.
故答案为:D.
2.一只盒子中有红球m个,白球8个,黑球n个,每个球除颜色外都相同,从中任取一个球,取得白球的概率与不是白球的概率相同,那么m与n的关系是( )
A.m=3,n=5 B.m=n=4 C.m+n=4 D.m+n=8
【答案】D
【解析】该盒子里共有球,m+8+n,白球个数是8个,非白球个数是m+n;所以依题意可知,,
故选D.
3.二次函数y=(x﹣1)2﹣3的最小值是( )
A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣3
【答案】D
【解析】∵y=(x﹣1)2﹣3,
∴当x=1时,y取得最小值﹣3,
故选:D.
4.若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2,-3),则必在该图象上的点还有( )
A.(-3,-2) B.(2,3) C.(2,-3) D.(-2,3)
【答案】C
【解析】∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2,-3),
∴4a=-3
解之:,∴二次函数解析式为,
当x=-3时,故A不符合题意;
当x=2时,故B不符合题意;C符合题意;
当x=-2时,故D不符合题意;
故答案为:C
5.如图,在中,,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接OC,如图所示
∵OC=OA
∴∠OAC=∠OCA
又∵∠OAC+∠C=50°
∴∠OCA+∠C=50°
∵OB=OC
∴∠OCB=∠OBC=50°
∴∠COB=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-50°-50°
=80°
∵∠COB是所对的圆周角,∠BAC是所对的圆心角.
∴
故答案为:C.
6.下列说法正确的是( )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.不在同一直线上的三点确定一个圆
C.直径是弦,弦是直径
D.长度相等的弧是等弧
【答案】B
【解析】A:根据垂径定理的定义:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 故A选项错误.
B:不在同一直线上的三点确定一个圆 ,B选项说法正确.
C:直径是弦,但弦不一定都是直径. 故C选项错误.
D:在同圆或等圆中,能完全重合的两段弧叫等弧,故D选项错误.
故答案为:B.
7. 已知抛物线y=x2-2mx(-1≤m≤2)经过点A(p,t)和点B(p+2,t),则t的最小值是( )
A.-3 B.-1 C.0 D.1
【答案】A
【解析】抛物线的对称轴为直线,
∵ 抛物线y=x2-2mx(-1≤m≤2)经过点A(p,t)和点B(p+2,t) ,
∴x=m=(p+p+2)=p+1,t=p2-2mp,
∴p=m-1,
∴t=(m-1)2-2m(m-1)=-m2+1,
当m>0时t随m的增大而减小,
∵ -1≤m≤2,
∴当m=2时,t有最小值为t=-22+1=-3.
故答案为:A.
8.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,⊙P是△ABC的外接圆,连结PA.若AD=3,BD=1,BC=5,则PA的长( )
A.2.5 B. C. D.2.8
【答案】B
【解析】连接PC,过点P作PE⊥AC于点E,如图,
∵ AD是BC边上的高,
∴ ∠ADB=∠ADC=90°,
∵ AD=3,BD=1,BC=5,
∴ AB=,AC=5,
∵ PE⊥AC,
∴ AE=AC=2.5,
∵ ∠ABD=∠APE=∠APC,
∴ △ABD∽△APE,
∴,
∴.
故答案为:B.
9.如图,二次函数的图象过点,对称轴为直线,下列结论:①;②;③;④当时,的取值范围是;其中正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】①由该函数图象可知:a>0,c<0
∵该二次函数的对称轴为直线x==1
∴=-1
∵a>0
∴b<0
∴abc>0
故①正确.
②∵该二次函数的对称轴为直线x==1
∴-b=2a即2a+b=0
故②正确
③由函数图象可知:x=-1时,y<0即a-b+c<0
∵b=-2a
∴3a+c<0
故③正确
④∵该函数图象与x轴有两个交点,这两个交点到对称轴的距离都为3,
∴ 该函数图象与x轴的另一个交点是(4,0),
由图像可知:当y0时,也就是x轴下半部分的图像,
故x的取值范围是:故④正确.
故答案为:A.
10.如图,是的直径,为半径,过点作交于点,连结,,,连结交于点,交于点,则下列结论:
①; ②若F为中点,则;
③作交于点,则; ④若,则;
其中正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】①解:∵ADOC
∴OC⊥BD
∴即∠CAD=∠CAB
又∵AB是的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°
∴∠CAD+∠DBC=90°故①正确
②∵F为AC的中点
∴AF=CF
∵AB为直径,
∴∠ADF=90°=∠CEF
又∵∠AFD=∠CFE(对顶角相等)
'∴△AFD△CFE(AAS)
∴AD=CE
∵△ADB和△OEB是直角三角形,
又∵∠DAB=∠DAB,∠BAD=∠BOE
∴
∴AD=2OE=CE故②正确
③要使即
也就是要证明:
但题中所给条件无法证明这两个三角形相似.故③错误
④∵S1:S2=1:2即∠ACD=∠OBC
又∵∠ACD=∠ABD
∴∠ACO=∠OBC
但无法证明∠OBC=60°所以也不能确定∠ACO=30°故④错误.
故答案为:C
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球,其中黄球有6个.将袋中的球摇匀后,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则袋中小球的个数为 .
【答案】20
【解析】设袋中小球的个数为x个,根据题意得,
,
∴ x=20.
故答案为:20.
12.把抛物线先向左平移1个单位,再向上平移3个单位,则平移后的抛物线表达式为 .
【答案】
【解析】首先,抛物线先向左平移1个单位得出即,再向上平移3个单位得出
故答案为:
13.如图,有长为24m的篱笆,一边利用墙(墙长不限),则围成的花圃ABCD的面积最大为 m2.
【答案】48
【解析】设AB长为xm,则AD长为m,根据题意得,
S=
∵ x>0,24-3x>0,
∴ 0<x<8,
∴ 当x=4时,S取最大值48.
故答案为:48.
14. 如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
【答案】4
【解析】∵ ∠P=55°,
∴ ∠P所对的弧所对应的圆心角为2∠P=110°,
则360°÷110°=3……30°,
即共安装这样的监视器4台.
故答案为:4.
15.如图,在半径为2的扇形中,,将扇形沿过点B的直线折叠,点O恰好落在弧上,折痕交于点C,则图中阴影部分的周长是 .
【答案】
【解析】由题意得:OC=CD,OB=OA=2
∴阴影部分的周长=+2+2=π+4
故答案为:π+4.
16.点,都在二次函数的图象上.若,则的取值范围为 .
【答案】m > 1或-1【解析】由题意得,都在二次函数的图像上
将A、B两点代入该二次函数解析式中得:
=m+n
∵
∴
∴
分两种情况讨论:①当
解得
∴m>1
②当时
解得,-1∴-1故答案为: m > 1或-1三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点D作x轴的平行线交抛物线于E、F两点,求EF的长.
【答案】(1)解:将A,B两点坐标代入函数解析式得,,
解得.
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)令y=得,
﹣x2+2x+3=,
解得,.
则.
所以EF的长为3.
18.如图,AB为⊙O的直径,D是弦AC延长线上一点,AC=CD,DB的延长线交⊙O于点E,连接CE.
(1)求证∠A=∠D;
(2)若的度数为108°,求∠E的度数.
【答案】(1)证明:连接BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴即AD⊥BC,
又AC=CD,
∴AB=BD,
∴∠A=∠D;
(2)解:∵的度数为108°,
∴∠EBA=54°,
又∠EBA=∠A+∠D,∠A=∠D,
∴∠A=∠EBA=27°,
∴∠E=∠A=27°.
19.一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球,其中1个黄球、2个红球.
(1)任意摸出1个球,记下颜色后不放回,再任意摸出1个球,求两次摸出的球恰好都是红球的概率(要求画树状图或列表);
(2)现再将n个黄球放入布袋,搅匀后,使任意摸出1个球是黄球的概率为,求n的值.
【答案】(1)画树状图如下:
共有6种等可能的结果,两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种,
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为;
(2)根据题意得:=,
解得:n=5,
经检验:n=5是原分式方程的解,
∴n=5.
20.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O上的点,且OD∥BC,AC分别与BD,OD相交于点E,F.
(1)求证:点D为的中点;
(2)若DF=4,AC=16,求⊙O的直径.
【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OD∥BC,
∴∠OFA=90°,
∴OF⊥AC,
∴ = ,
即点D为 的中点;
(2)解:OF⊥AC,
∴AF= AC=8,
∵DF=4,
∴OF=OD DF=OA 4,
∵OA2=AF2+OF2,
∴OA2=82+(OA 4)2,
∴OA=10,
∴⊙O的直径为20.
21.如图,已知为的直径,是弦,于E,于F,连接,,.
(1)求证:;
(2)若,求的值及阴影部分的面积.
【答案】(1)证明:如图,连接BC,
∵CD⊥AB,AB是直径,
∴∠OAF=∠BCE,
又∵OF⊥AC,
∴∠OFA=90°=∠BCE,
∵BE=OF,
∴△OAF≌△BCE(AAS);
(2)解:如图,连接AD,
∵△OAF≌△BCE,,
∴OA=BC=10cm,AF=CE,
∴AC=CD,
又∵AC=AD,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠CAD=60°,
∴∠COD=2∠CAD=120°,
在Rt△AOF中,∵,
,
在Rt△ACE中,∵,∠CAE=30°,
∴OE=OB-BE=15-10=5(cm),
∴S阴影部分=S扇形OCD-S△OCD==(cm2).
22.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,已知AB=10,AE=8,点P为AB上任意一点,(点P不与A、B重合),连结CP并延长与⊙O交于点Q,连结QD,PD,AD.
(1)求CD的长.
(2)若CP=PQ,直接写出AP的长.
(3)①若点P在A,E之间(点P不与点E重合),求证:∠ADP=∠ADQ.
②若点P在B,E之间(点P不与点E重合),求∠ADP与∠ADQ满足的关系.
【答案】(1)解:连接OD,
∵直径AB=10,AE=8,∴BE=2.∴OE=5-2=3.
又∵AB⊥CD,在Rt△PED中,
∴ED=
∴CD=2ED=8
(2)解:AP=5或8
(3)解:①连接AC,由图可知∠ACQ=∠ADQ,
因为AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
所以CE=DE,即AB是CD的垂直平分线,
所以AC=AD,PC=PD,
因为AP=AP,
所以△ACP≌△ADP(SSS),
所以∠ACP=∠ADP,
所以∠ADP=∠ADQ.
②∠ADP+∠ADQ=180°.
理由如下:
连接AC,
因为AB是直径,AB⊥CD,
所以AC=AD,CE=DE,
所以△ACP≌△ADP(SSS),
所以∠ACP=∠ADP,
因为∠ACP=,∠ADQ=,
所以∠ACP+∠ADQ=(+)=180°.
【解析】(2)若CP=PQ,则点P与点O重合,或点P与点E重合.
所以AP=5或8
23.如图1,AB为⊙O的直径,CD⊥AB于点E,,BF与CD交于点G.
(1)求证:CD=BF.
(2)若BE=1,BF=4,求GE的长.
(3)连结GO,OF,如图2,求证:.
【答案】(1)证明:∵AB为⊙O的直径,CD⊥AB于点E,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴BF=CD;
(2)解:如图所示:连接BC,
由(1)得:,CD=BF=4,
∴∠FBC=∠BCD,
∴BG=CG,
∵AB为⊙O的直径,CD⊥AB于点E,
∴,
设EG=x,则BG=CG=2﹣x,
在△BEG中,EG2+BE2=BG2,即x2+12=(2﹣x)2,
解得:,
∴GE的长为;
(3)解:如图所示:连接OC交BF于I,
∵,
∴,
在△OCG和△OBG中,
,
∴△OCG≌△OBG(SSS),
∴∠COG=∠BOG,
∴∠IOB=2∠EOG,
∵OF=OB,OC为半径,
∴OC⊥BF,
∴∠OIB=90°,
∵∠IOB+∠IBO=90°,
∴.
24.定义:若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点,则称该点为这个函数图象的“互逆点”
(1)若点M(-2,m)是一次函数y=kx+6的图象上的“互逆点”,则k= 若点N(n,-n)是函数y的图象上的“互逆点”,则n=
(2)若点P(p,3)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”,求这个二次函数的表达式;
(3)若二次函数y=ax2+bx+c(a,b是常数,a>0)的图象过点(0,2),且图象上存在两个不同的“互逆点”A(x1,-x1),B(x2,-x2),且满足-1【答案】(1)2;或
(2)解:点P(p,3)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”,即抛物线y=x2+bx+c与直线y=-x的唯一交点为P(-3,3),
∴方程x2+bx+c=-x有两个相等的实数根为:x1=x2=-3,
∴
解得,
∴二次函数的表达式为;
(3)解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a,b是常数,a>0)的图象过点(0,2),
∴c=2,
∴y=ax2+bx+2,
∵y=ax2+bx+2图象上存在两个不同的“互逆点”A(x1,-x1),B(x2,-x2),
∴-x1=ax12+bx1+2,-x2=ax22+bx2+2,
∴ax12+(b+1)x1+2=0,ax22+(b+1)x2+2=0,
∴x1、x2是方程ax2+(b+1)x+2=0的两个不相等实数根,
∴x1+x2=,x1 x2=,
∵|x1﹣x2|=2,
∴(x1﹣x2)2=4,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=()2﹣4×=4,
∴b2+2b+1﹣8a=4a2,
∴z=b2+2b+2=4a2+8a+1=4(a+1)2-3
∵|x1﹣x2|=2,
∴x1﹣x2=2或x2﹣x1=2,
∵﹣1<x1<1,
∴﹣3<x2<﹣1或1<x2<3
∴﹣3<x1 x2<3,
∴﹣3<<3,
∵a>0,
∴a>,
∴z=4(a+1)2-3>
【解析】根据题意得,
∴,代入解析式得,
解得:;
把代入函数
得,解得:或;
故答案为:2;或
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