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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1-3章综合培优训练卷2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．明天是雨天
B．任意掷一枚均匀的硬币80次，正面朝上的次数是40次
C．三角形三个内角的和等于
D．两个数的和为负数
【答案】C
【解析】A、明天是雨天时随机事件，故A错误；
B、 任意掷一枚均匀的硬币80次，正面朝上的次数是40次是随机事件，故B错误；
C、 三角形三个内角的和等于 是必然事件，故C正确；
D、 两个数的和为负数随机事件，故D错误.
故答案为：C.
2．已知⊙O的半径为5cm，点A在⊙O内，则OA的长度可能是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径为5cm ，点A在圆内
∴OA<5
故答案为：A.
3．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵钝角三角形的钝角所对的外接圆的圆弧大于半个圆周
∴三角形的三个顶点就集中在圆 劣弧上
∴钝角三角形的外心在三角形的外部
故答案为：C.
4．把抛物线y＝x2的图象先向左平移5个单位，再向下平移1个单位所得的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣5）2+1 B．y＝（x﹣5）2﹣1
C．y＝（x+5）2+1 D．y＝（x+5）2﹣1
【答案】D
【解析】向左平移即横坐标加上平移的距离，向下平移即纵坐标减去平移的距离，
∴平移后的解析式为y-1=，移向可得y=-1
故答案为：D.
如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
【答案】B
【解析】连接AO并延长交圆O于点D，如下图：
∵A，B，C是⊙O上的三点
∴OA=OB=OC
∴∠ABO=∠BAO=25°，∠ACO=∠CAO=30°；
∴∠BAC=25°+30°=55°
∴∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°
故答案为：B.
6．对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（－2，5） B．图象开口向下
C．图象关于直线x=－2对称 D．函数最小值为5
【答案】D
【解析】对于函数的顶点坐标为，故A选项正确；因为所以函数开口向下，故B选项正确；函数的对称轴直线方程为：故C选项正确；函数的最大值为5，故D选项错误.
故答案为：D.
7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OC，OD，则∠COD＝（ ）
A．72° B．60 C．54 D．48°
【答案】A
【解析】∵该五边形ABCDE是正五边形∴∠COD=
故答案为：A.
8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C为的中点，OC与AB交于点D，若⊙O的半径是10，CD=4，则AB=（ ）
A．14 B．15 C．17 D．16
【答案】D
【解析】连接，如图，
∵的半径是，C为的中点，
∴，
∴
∵，
∴，
∴在中，
则．
故答案为：D.
9．如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（ ）．
A．50πcm2 B．100πcm2 C．100πcm2 D．200πcm2
【答案】D
【解析】如下图所示：连接OA、并过点O作AB的垂线，垂足为点D，
根据垂径定理可得：
故在中，
由勾股定理可得：
故
故圆锥的则面积为：
故答案为：D.
10．已知二次函数y＝ax2-（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且-1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
【答案】C
【解析】∵，
当时：，
∵，得，
∴点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
当时，有最小值为，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．抛物线y＝（x﹣7）2﹣4的对称轴是直线x＝ ．
【答案】7
【解析】根据抛物线的解析式的顶点式，可得其对称轴为直线x=7.
故答案为：7.
12．小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
投篮次数 20 40 60 80 120 150 200
投中次数 15 33 47 65 95 120 160
投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.8 0.8
估计小萌投一次篮，投中的概率是
【答案】0.8
【解析】∵0.75 ≈0.8，0.83≈0.8，0.82≈0.8，0.79≈0.8，0.8=0.8，∴可以看出小萌投中的频率大部分稳定在0.8左右，∴小萌投一次篮，投中的概率为0.8.
故答案为：0.8.
13．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
【答案】2π
【解析】扇形的弧长==2π.
故答案为：2π.
14．已知△ABC的边BC=，且△ABC内接于半径为4cm的⊙O，则∠A的度数为 ．
【答案】45°或135°
【解析】由题意得，本题分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时；连接OB、OC，作ODBC于D，如图所示：
∴∠ODB=90°，BD=CD=BC =cm，
∠BOD=∠COD=∠BOC
∵sin∠BOD= =
∴∠BOD = 45°，∠BOC=90°，
∴∠A=∠BOC =45°
②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示：
∠A=180°-45°=135°
因此，∠A=45°或135°
故答案为：45°或135°.
15．当1≤x≤2时，关于x的二次函数y=（x-m）2+m-1有最小值2，则实数m的值为 .
【答案】.
【解析】∵关于x的二次函数有最小值2，
∴二次项系数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，在对称轴左侧，
∴当时，函数取得最小值，即，
解得： （不合题意的值已舍去）；
当时，在对称轴右侧，
当时，函数取得最小值，即，
解得：（舍去）或；
当时，
函数在顶点处取得最小值，
即，
解得：（舍去），
故答案为：或．
16．如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，∠ABC=30°，弦EF过AB边的中点D，且EF∥BC，若BC＝，则外接圆的半径为 ，EF= .
【答案】；
【解析】连接OE、OC
∵△ABC是等腰三角形
∴∠BAC=∠ABC=30°
∠BOC=2∠BAC=2x30°=60°
(同弧所对圆周角是圆心角一半)
又∵DB=OC
∴△BOC为等边三角形
∴DB=OC=BC=即外接圆半径为
∵AC=BC=，∠ACB=180"-∠BAC-∠ABC=120°
∴AB=6，AD=BD=3
过O作于点M
∵EF//BC
∴∠DDM=∠DCB=60°(等腰三角形三线合一线)
∴OD=
∴，OM=OD×sin60°=
∴
∴EF=2EM=
故答案为：第1空： ，第2空：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数的图象经过（0，0），且它的顶点坐标是（1，－2）.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）判断点P（3，5）是否在这条抛物线的图像上.
【答案】（1）解：因为函数的顶点坐标为： （1，－2）. 可设函数的顶点式为：，又因为直线过点： （0，0） ，所以：
解得所以二次函数的解析式为.
（2）解：当x=3时，y=6；所以不在这条抛物线上.
18．为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．
（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是 .
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下，
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
共有9种等可能的结果，符合条件的有1种，所以 两人都抽到卡片C的概率 =.
【解析】【解答】（1）（小亮抽到卡片）．
故答案为：
19．如图，⊙O的直径BC为6cm，弦AC为3cm．∠CAB的平分线交⊙O于点D.
（1）求∠CBD的度数.
（2）求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵BC为⊙O的直径
∴∠ADC=90°
∵BC=6，AC=3
∴∠ABC=30°，∠CAB=60°
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠BAD=30°
∵弧CD=弧CD
∴∠CAD=∠CBD=30°
（2）解：连结OA，作OH⊥AB
∵OA=OB，∠OBA=30°
∴AOB=120°
∵OH⊥AB
∴OH=OB=，BH=，AB=
∵
S扇
∴
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD；
解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴ ＝ ，
∴∠ADC＝∠ABD．
（2）解：如图，连接OD．
在Rt△OED中，DE＝ ＝ ＝4，
在Rt△ADE中，AD＝ ＝ ＝4 ，
∵sin∠A＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OF＝ ．
21．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求证：AD平分∠BAC；
（2）若，AB＝8，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵点D在⊙O上且平分，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵点D在⊙O上且平分，
∴＝，
∴，
∴，
∵AB＝8，
∴．
22．已知关于x的二次函数y＝ax2－2ax＋3a－2(a≠0)，经过点A(x1，y1)，B(x2，y2).
（1）若此函数图象过点(2，4)，求这个二次函数的表达式；
（2）若x1＝3x2时，y1＝y2＝7时，求x2的值；
（3）若0＜a＜3，当x1＜x2，且x1＋x2＝a－1时，求证：y1＞y2.
【答案】（1）解：把（2，4）代入 y＝ax2－2ax＋3a－2得：4a－4a＋3a－2=0
解得：a=2
∴y=2x2－4x＋4；
（2）解：由题意得：对称轴为直线x=1，
∴，
∴；
（3）证明：由题意得：y2－y1=（ax22－2ax2＋3a－2）－（ax12－2ax1＋3a－2）
=a（x2－x1）（x2＋x1－2）
∵x1
∴x2－x1>0
∵x2＋x1=a－1，
∴x2＋x1－2=a－3
∵0∴x2＋x1－2<0
∴y2－y1<0
∴y1>y2
23．已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC．
（1）如图1，连结OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D．
①求证：BO平分∠ABC；
②设∠ACB＝α，∠DAC＝β，请用含α的代数式表示β；（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ABC＝90°，F为⊙O上的一点，且点B，F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连结GC，试猜想AG，CG，BG三者之间的数量关系并给予证明．
【答案】（1）①证明：连接OA，如图，则OA=OB=OC
在△OAB和△OCB中
∵OA=OC，OB=OB，AB=BC
∴△OAB≌△OCB
∴∠OBA=∠OBC，即BO平分∠ABC
②β＝2α
（2）)猜想：AG，CG，BG三者之间的数量关系：AG2+2BG2=CG2
证明：延长GA交⊙O于点H，连接BH，CH，如图
∵∠ABC=90°，AB=CB
∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BHA=∠F=∠BCA=45°，∠BHC=∠BAC=45°.
∴∠GHC=∠AHB+∠BHC=90°
∴CG2=GH2+CH2
∵△ABF和△ABG关于AB对称
∴∠BGA=∠F=45°
∴∠BGA=∠BHA=45°
∴BG=BH
∴∠GBH=∠180°-∠BGA-∠GHB=90°
∴BG2+BH2=HG2即GH2=2BG2
∵∠GBH=∠ABC=90°
∴∠GBA+∠ABH=∠CBH+∠ABE，即∠GBA=∠CBH
∵∠BGA=∠BHC=45°，BA=BC
∴△GBA≌△HBC
∴AG=CH
∴AG2+2BG2=CG2
24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点D为y轴上一点，点D关于直线AC的对称点为D1．
①当点D1刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D的坐标．
②点P在抛物线上（点P不与点A、点C重合），连结PD，PD1，DD1，是否存在点P，使△PDD1为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，5）B（1，0），
∴将A（﹣3，8）B（1，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c；得，
解得，
所以，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：①如图，
∵抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+5．
∴C（0，3），
∴OA＝OC＝5，
∴∠OCA＝45°，
∵点D关于直线AC的对称点为D1．
∴∠DCA＝∠D1CA＝45°，CD＝CD1，
∴∠DCD1＝90°，
∴CD1∥OA，
∴点D1的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴CD＝CD1＝2，
∴点D（3，1）；
②以D为直角顶点，若点D在点C下方，过点P作PH⊥y轴，
∵∠DCD1＝90°，CD＝CD8，
∴∠CDD1＝45°，
∵∠D1DP＝90°
∴∠HDP＝45°，
∵PH⊥y轴，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD1＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD1＝90°，DP＝DD1，
∴△DPH≌△DD1C（AAS），
∴CD＝CD1＝HD＝HP，
设CD＝CD1＝HD＝HP＝a，
∴点P（﹣a，6﹣2a）
∴﹣a2+2a+3＝3﹣2a，
∴a＝4，a＝0（不合题意，
∴点P（﹣4，﹣5）；
若点D在点C上方，如图3，
∵DD1＝DP，∠DCD1＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COA，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+6，
∴x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴点P（﹣2，8）；
如图4，若以P为直角顶点，不合题意，
如图5，以P为直角顶点，不合题意，
如图6，以D1为直角顶点，此时PD∥x轴1作D7H⊥x轴交PD于H，
∴D1H⊥PD，
∴PH＝DH＝D1H，
设PH＝DH＝D1H＝m，
∵点D1的纵坐标为3，
∴P（﹣62m，3﹣m），
∴﹣4m2+4m+3＝4﹣m，
∴m＝，m＝2（不合题意舍去），
∴点P（﹣，）；
综上可得，点P的坐标为（﹣4，8）或（﹣，）．
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1-3章综合培优训练卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．明天是雨天
B．任意掷一枚均匀的硬币80次，正面朝上的次数是40次
C．三角形三个内角的和等于
D．两个数的和为负数
2．已知⊙O的半径为5cm，点A在⊙O内，则OA的长度可能是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
3．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．把抛物线y＝x2的图象先向左平移5个单位，再向下平移1个单位所得的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣5）2+1 B．y＝（x﹣5）2﹣1
C．y＝（x+5）2+1 D．y＝（x+5）2﹣1
5．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
（第5题） （第7题） （第8题） （第9题）
6．对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（－2，5） B．图象开口向下
C．图象关于直线x=－2对称 D．函数最小值为5
7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OC，OD，则∠COD＝（ ）
A．72° B．60 C．54 D．48°
8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C为的中点，OC与AB交于点D，若⊙O的半径是10，CD=4，则AB=（ ）
A．14 B．15 C．17 D．16
9．如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（ ）．
A．50πcm2 B．100πcm2 C．100πcm2 D．200πcm2
10．已知二次函数y＝ax2-（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且-1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．抛物线y＝（x﹣7）2﹣4的对称轴是直线x＝ ．
12．小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
投篮次数 20 40 60 80 120 150 200
投中次数 15 33 47 65 95 120 160
投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.8 0.8
估计小萌投一次篮，投中的概率是
13．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
14．已知△ABC的边BC=，且△ABC内接于半径为4cm的⊙O，则∠A的度数为 ．
15．当1≤x≤2时，关于x的二次函数y=（x-m）2+m-1有最小值2，则实数m的值为 .
16．如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，∠ABC=30°，弦EF过AB边的中点D，且EF∥BC，若BC＝，则外接圆的半径为 ，EF= .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数的图象经过（0，0），且它的顶点坐标是（1，－2）.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）判断点P（3，5）是否在这条抛物线的图像上.
18．为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．
（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是 .
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
19．如图，⊙O的直径BC为6cm，弦AC为3cm．∠CAB的平分线交⊙O于点D.
（1）求∠CBD的度数.
（2）求阴影部分的面积.
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
21．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求证：AD平分∠BAC；
（2）若，AB＝8，求AC的长．
22．已知关于x的二次函数y＝ax2－2ax＋3a－2(a≠0)，经过点A(x1，y1)，B(x2，y2).
（1）若此函数图象过点(2，4)，求这个二次函数的表达式；
（2）若x1＝3x2时，y1＝y2＝7时，求x2的值；
（3）若0＜a＜3，当x1＜x2，且x1＋x2＝a－1时，求证：y1＞y2.
23．已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC．
（1）如图1，连结OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D．
①求证：BO平分∠ABC；
②设∠ACB＝α，∠DAC＝β，请用含α的代数式表示β；（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ABC＝90°，F为⊙O上的一点，且点B，F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连结GC，试猜想AG，CG，BG三者之间的数量关系并给予证明．
24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点D为y轴上一点，点D关于直线AC的对称点为D1．
①当点D1刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D的坐标．
②点P在抛物线上（点P不与点A、点C重合），连结PD，PD1，DD1，是否存在点P，使△PDD1为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在
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