2023-2024学年高中数学人教A版（2019）1.3 集合的运算 分层训练
1．（2023高二下·宁波期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国乙卷）设集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．或
6．已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
9．已知集合，，则 ．
10．已知全集，则 ．
11．（2022高一上·金堂期中）已知全集，集合，，则 .
12．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ．
13．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
14．已知集合，，若，则实数a的值为 ．
15．七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为 .
16．若集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．若集合，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
18．（2023高一上·玉溪期末）能正确表示图中阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
19．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2022高一上·温州期中）已知集合，集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
21．已知集合，，下列表示正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．对于集合，定义，且，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，或，则
D．若，，则，或
23．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
24．已知集合，全集，则（ ）
A． B．
C． D．
25．若集合，集合，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2019高一上·龙岩月考）若集合 ， ．
（1）若 ，全集 ，试求 ．
（2）若 ，求实数m的取值范围．
27．已知，，全集
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
28．已知全集为，集合，．
（1）求；
（2）若，且 ，求的取值范围．
29．已知集合，求.
30．已知全集，，．
（1）求；
（2）求．
31．已知集合，或．
（1）若全集，求、；
（2）若全集，求；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】∵， ，
∴.
故答案为：D
【分析】根据并集的定义计算可得.
2．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解： ，
∴，
∴元素的个数为4.
故答案为：B.
【分析】把集合B元素个数写出来，根据集合元素的互异性确定元素个数.
3．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：B.
【分析】根据交集的概念，确定 的集合.
4．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意
对A， ，则，符合题意，
对B， ，则，不符合题意，
对C，，则，不符合题意，
对D， ，则，不符合题意，
故选：A.
【分析】由交、并、补集的定义及运算，逐项判断可得答案.
5．【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴ 或
故答案为：B.
【分析】根据补集的概念计算即可.
6．【答案】C
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解： ∵，
∴
又∵，
∴阴影部分表示的集合为
故答案为：C.
【分析】根据集合得交集与补集的性质作出解答即可.
7．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，或，
解得或，
实数的值为
故答案为：C.
【分析】根据并集的性质和互异性进行解答.
8．【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：如图所示，用韦恩图表示集合之间的关系，用A、B、C表示舞蹈、唱歌、体育，
设总人数为m，三块区域的人数为x，y，z，
即
，
故答案为：B.
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合容斥原理，可得关于n的方程，解出答案.
9．【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解： ，，
∴
故答案为：.
【分析】根据并集的性质求出集合即可.
10．【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】求出 ，，再求出交集.
11．【答案】8
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】因为全集，集合，，
所以，即，
所以.
故答案为：8.
【分析】利用补集的定义直接求解，可得答案.
12．【答案】20
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解： 仅会乒乓球、羽毛球教师人数为，仅会乒乓球、篮球教师人数为，仅会羽毛球、篮球教师人数为，
，
，
故答案为：20.
【分析】根据题意，画出韦恩图，列出等式求解即可.
13．【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当B不是空集时
∴，，
∴，
当B为空集时，
，
解得
故答案为：.
【分析】根据集合之间的关系求解即可.
14．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵，
∴直线平行，
即
解得，
当时，
，
不符合题意，
∴
故答案为：.
【分析】根据集合交集为空集，两直线平行求出实数a.
15．【答案】40人
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：设 两个节目都参加的人数 为，参加风情秀的人数为，
如图所示，
，
解得，
此班人数为40人.
故答案为：40人.
【分析】利用给定的条件，利用集合容斥原理列式求解.
16．【答案】A,B,D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解： A：，选项正确；
B：，选项正确；
C：，选项错误；
D：选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解.
17．【答案】A,C,D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解： A：，选项正确；
B：，选项错误；
C：，选项正确；
D：，选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据并集、交集、子集的性质求解.
18．【答案】A,D
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】对于A，
为，∴为，A符合题意；
对于B，
为，∴为，B不符合题意；
对于C，
为，为，
∴为，C不符合题意；
对于D，
为，∴为，
∴为，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】】由集合运算和Venn图知识对选项依次辨析即可.
19．【答案】B,C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解： 表示偶数，
表示奇数，
A：，选项错误；
B：，选项正确；
C：，选项正确；
D：，选项错误；
故答案为：BD.
【分析】根据交集、补集、并集运算性质直接求解.
20．【答案】A,B,C
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】集合是偶数集合，集合是奇数集合，
所以正确；正确；正确； 错误，应改为，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系、交集、并集和补集的运算法则，进而找出说法正确的选项。
21．【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：A、，，选项错误；
B、，，选项正确；
C、，，选项正确；
D、，，选项正确
故答案为：BCD.
【分析】根据正整数的定义以及元素与集合的关系，空集的性质，逐项判断即可求解.
22．【答案】A,B,C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：A、若，则，选项正确；
B、若，则，选项正确；
C、若，，或，则，选项正确；
D、若，，则，或，选项错误；
故答案为：ABC.
【分析】根据交集、补集的性质，逐项判断即可.
23．【答案】B,C,D
【知识点】子集与真子集；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：当时，
与构成“全食”，
当时，
，
①，，
与构成“全食”，
②，，
与构成“偏食”，
③，，
与构成“全食”，
实数的取值可以是
故答案为：BCD.
【分析】根据题意定义的新概念，分情况讨论a的取值范围，确定集合B.
24．【答案】A,C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解： A：，选项正确；
B：，选项错误；
C：，选项正确；
D：不包含于，选项错误；
故答案为：AC.
【分析】根据交集、并集、补集的性质，逐项判断选择.
25．【答案】A,B
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解： ，集合，
A：，选项正确；
B：，选项正确；
C：，选项错误；
D：，选型错误；
故答案为：AB.
【分析】根据集合元素概念、并集、交集的概念，逐项判断即可.
26．【答案】解：当 时，由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ．
（ ）若 ，求实数m的取值范围．
解：∵ ， ，
由 得 ，
∴ ，即实数m的取值范围是 ．
（1）解：当 时，由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
由 得 ，
∴ ，即实数m的取值范围是 ．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）根据集合的基本运算求 ，即可求出答案；（2）根据 ，建立条件关系即可求出实数m的取值范围.
27．【答案】（1）解：当时，，
所以或，又，
所以.
（2）解：由题可得：当时，有，
解得a的取值范围为；
当时有，解得a的取值范围为，
综上所述a的取值范围为.
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】 (1)、 当时，，求出集合B的补集，再求出 ；
(2)、 当时，有，求出a的取值范围为；当时解得a的取值范围为，确定 的取值范围.
28．【答案】（1）解：解不等式，解得，
所以，
所以；
（2）解：由（1）得，
又 ，
则或，解得或，
即.
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】 (1)、 解不等式，求出解得，求出B的集合，求出 求；
(2)、 由（1）得列出不等式，确定 的取值范围．
29．【答案】解：因为，
所以.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】根据交集、并集的定义，求出 .
30．【答案】（1）解：由于，，
所以
（2）解：，
所以
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】 (1)、 根据并集的定义求出 ；
(2)、 根据交集和补集的定义求出 ．
31．【答案】（1）解：由题意可得，或
且或，则或
（2）解：根据题意，且，则可得
则
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】 (1)、 根据并集、补集的定义求出即可.
(2)、 根据交集、补集的定义求出即可.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版（2019）1.3 集合的运算 分层训练
1．（2023高二下·宁波期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】∵， ，
∴.
故答案为：D
【分析】根据并集的定义计算可得.
2．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解： ，
∴，
∴元素的个数为4.
故答案为：B.
【分析】把集合B元素个数写出来，根据集合元素的互异性确定元素个数.
3．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：B.
【分析】根据交集的概念，确定 的集合.
4．（2023·全国乙卷）设集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意
对A， ，则，符合题意，
对B， ，则，不符合题意，
对C，，则，不符合题意，
对D， ，则，不符合题意，
故选：A.
【分析】由交、并、补集的定义及运算，逐项判断可得答案.
5．已知集合，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴ 或
故答案为：B.
【分析】根据补集的概念计算即可.
6．已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解： ∵，
∴
又∵，
∴阴影部分表示的集合为
故答案为：C.
【分析】根据集合得交集与补集的性质作出解答即可.
7．已知集合，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，或，
解得或，
实数的值为
故答案为：C.
【分析】根据并集的性质和互异性进行解答.
8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：如图所示，用韦恩图表示集合之间的关系，用A、B、C表示舞蹈、唱歌、体育，
设总人数为m，三块区域的人数为x，y，z，
即
，
故答案为：B.
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合容斥原理，可得关于n的方程，解出答案.
9．已知集合，，则 ．
【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解： ，，
∴
故答案为：.
【分析】根据并集的性质求出集合即可.
10．已知全集，则 ．
【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】求出 ，，再求出交集.
11．（2022高一上·金堂期中）已知全集，集合，，则 .
【答案】8
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】因为全集，集合，，
所以，即，
所以.
故答案为：8.
【分析】利用补集的定义直接求解，可得答案.
12．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ．
【答案】20
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解： 仅会乒乓球、羽毛球教师人数为，仅会乒乓球、篮球教师人数为，仅会羽毛球、篮球教师人数为，
，
，
故答案为：20.
【分析】根据题意，画出韦恩图，列出等式求解即可.
13．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当B不是空集时
∴，，
∴，
当B为空集时，
，
解得
故答案为：.
【分析】根据集合之间的关系求解即可.
14．已知集合，，若，则实数a的值为 ．
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵，
∴直线平行，
即
解得，
当时，
，
不符合题意，
∴
故答案为：.
【分析】根据集合交集为空集，两直线平行求出实数a.
15．七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为 .
【答案】40人
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：设 两个节目都参加的人数 为，参加风情秀的人数为，
如图所示，
，
解得，
此班人数为40人.
故答案为：40人.
【分析】利用给定的条件，利用集合容斥原理列式求解.
16．若集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解： A：，选项正确；
B：，选项正确；
C：，选项错误；
D：选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解.
17．若集合，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解： A：，选项正确；
B：，选项错误；
C：，选项正确；
D：，选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据并集、交集、子集的性质求解.
18．（2023高一上·玉溪期末）能正确表示图中阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】对于A，
为，∴为，A符合题意；
对于B，
为，∴为，B不符合题意；
对于C，
为，为，
∴为，C不符合题意；
对于D，
为，∴为，
∴为，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】】由集合运算和Venn图知识对选项依次辨析即可.
19．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解： 表示偶数，
表示奇数，
A：，选项错误；
B：，选项正确；
C：，选项正确；
D：，选项错误；
故答案为：BD.
【分析】根据交集、补集、并集运算性质直接求解.
20．（2022高一上·温州期中）已知集合，集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】集合是偶数集合，集合是奇数集合，
所以正确；正确；正确； 错误，应改为，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系、交集、并集和补集的运算法则，进而找出说法正确的选项。
21．已知集合，，下列表示正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：A、，，选项错误；
B、，，选项正确；
C、，，选项正确；
D、，，选项正确
故答案为：BCD.
【分析】根据正整数的定义以及元素与集合的关系，空集的性质，逐项判断即可求解.
22．对于集合，定义，且，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，或，则
D．若，，则，或
【答案】A,B,C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：A、若，则，选项正确；
B、若，则，选项正确；
C、若，，或，则，选项正确；
D、若，，则，或，选项错误；
故答案为：ABC.
【分析】根据交集、补集的性质，逐项判断即可.
23．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】子集与真子集；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：当时，
与构成“全食”，
当时，
，
①，，
与构成“全食”，
②，，
与构成“偏食”，
③，，
与构成“全食”，
实数的取值可以是
故答案为：BCD.
【分析】根据题意定义的新概念，分情况讨论a的取值范围，确定集合B.
24．已知集合，全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解： A：，选项正确；
B：，选项错误；
C：，选项正确；
D：不包含于，选项错误；
故答案为：AC.
【分析】根据交集、并集、补集的性质，逐项判断选择.
25．若集合，集合，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解： ，集合，
A：，选项正确；
B：，选项正确；
C：，选项错误；
D：，选型错误；
故答案为：AB.
【分析】根据集合元素概念、并集、交集的概念，逐项判断即可.
26．（2019高一上·龙岩月考）若集合 ， ．
（1）若 ，全集 ，试求 ．
（2）若 ，求实数m的取值范围．
【答案】解：当 时，由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ．
（ ）若 ，求实数m的取值范围．
解：∵ ， ，
由 得 ，
∴ ，即实数m的取值范围是 ．
（1）解：当 时，由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
由 得 ，
∴ ，即实数m的取值范围是 ．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）根据集合的基本运算求 ，即可求出答案；（2）根据 ，建立条件关系即可求出实数m的取值范围.
27．已知，，全集
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
所以或，又，
所以.
（2）解：由题可得：当时，有，
解得a的取值范围为；
当时有，解得a的取值范围为，
综上所述a的取值范围为.
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】 (1)、 当时，，求出集合B的补集，再求出 ；
(2)、 当时，有，求出a的取值范围为；当时解得a的取值范围为，确定 的取值范围.
28．已知全集为，集合，．
（1）求；
（2）若，且 ，求的取值范围．
【答案】（1）解：解不等式，解得，
所以，
所以；
（2）解：由（1）得，
又 ，
则或，解得或，
即.
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】 (1)、 解不等式，求出解得，求出B的集合，求出 求；
(2)、 由（1）得列出不等式，确定 的取值范围．
29．已知集合，求.
【答案】解：因为，
所以.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】根据交集、并集的定义，求出 .
30．已知全集，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）解：由于，，
所以
（2）解：，
所以
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】 (1)、 根据并集的定义求出 ；
(2)、 根据交集和补集的定义求出 ．
31．已知集合，或．
（1）若全集，求、；
（2）若全集，求；
【答案】（1）解：由题意可得，或
且或，则或
（2）解：根据题意，且，则可得
则
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】 (1)、 根据并集、补集的定义求出即可.
(2)、 根据交集、补集的定义求出即可.
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