2024-2025学年人教A版选择性必修一课时作业 双曲线（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年人教A版选择性必修一课时作业 双曲线
一、选择题
1．已知,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与圆相切,与C在第一象限交于点P,且轴,则C的离心率为( )
A.3 B. C.2 D.
2．已知双曲线的上焦点为F,过焦点F作C的一条新近线的垂线,垂足为A,并与另一条渐近线交于点B,若,则C的离心率为( )
A. B.或 C. D.或
3．已知双曲线,O为坐标原点,P,Q为双曲线上两动点,且,则( )
A.2 B.1 C. D.
4．双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
5．已知双曲线,点M在C上,过点M作C两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,若,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．与圆及圆都外切的圆的圆心在( )
A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.圆上
7．设双曲线的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.
8．已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点F且垂直于x轴的直线交，分别于点P，Q，O为坐标原点，若的面积为，则( )
A.1 B. C. D.2
二、多项选择题
9．已知两点，，若直线上存在点P使，则称该直线为“B型直线”，下列直线中为“B型直线”的是( )
A. B. C. D.
10．已知双曲线，点，则( )
A.C的渐近线方程为
B.过点的直线l与C交于A，B两点，若，则满足条件的直线l有1条
C.与C的两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1
D.过点P能作4条与C只有一个交点的直线
11．我们把离心率为的双曲线（，）称为黄金双曲线.如图所示，，是双曲线的实轴端点，是虚轴的一个端点，，是焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交双曲线于M，N两点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线是黄金双曲线
B.若，则该双曲线是黄金双曲线
C.若，则该双曲线是黄金双曲线
D.若，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题
12．双曲线的虚轴长为______.
13．已知O为坐标原点,双曲线的左 右焦点分别为,,点M在以为圆心 为半径的圆上,且直线与圆相切,若直线与C的一条渐近线交于点N,且,则C的离心率为__________.
14．已知，是双曲线的左 右焦点，点在C上.，则C的离心率为________.
四、解答题
15．已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求C的方程.
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①M在AB上；②；③.
16．已知双曲线C的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
17．是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由.
（1）渐近线方程为；
（2）点到双曲线上的动点P的距离的最小值为.
18．如图，已知圆，，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程.
19．设，是双曲线的两个焦点，若点P在该双曲线上，且，，求该双曲线的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：设圆心为M,直线与圆相切于点N,
则,,故,
由于,所以,故,
因此在,由,
故,即.
故选:D
2．答案：D
解析：当时,直线AF与另一条渐近线平行,所以.
当时,如图1,过F作另一条渐近线的垂线,垂足为P,则,由,得,则,
所以,则,所以,
则.
当时,如图2,过F作另一条渐近线的垂线,垂足为Q,则,由,得,则,则,
所以,则,
所以,
则.
综上,C的离心率为或.
3．答案：D
解析：设直线OP的方程为,
由消去y,得,,
解之得,从而得出,
由直线OP与OQ垂直,设OQ的方程为,用类似于求的方法,
可得,.
4．答案：C
解析：因为,所以.
故选:C
5．答案：B
解析：设点,则,即,
又两条渐近线方程为,即,
故有,所以.故选B.
6．答案：B
解析：设所求圆的半径为,圆心为M,
圆的圆心,半径,
圆化为标准方程得,则圆心,半径,
因为,所以两圆相离,
由题意可得,两式相减得,
所以圆心M在双曲线的一支上.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题意可知，设，，可得①，
因为，所以②，且③，由①②③可得，所以双曲线的离心率.故选D.
8．答案：A
解析：由双曲线方程得其渐近线方程为，
由题知轴且过右焦点F，令，得，.
则的面积，解得.
双曲线（），，解得.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：因为，，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支上，且，，，所以点P的轨迹方程是，则“B型直线”即与双曲线的右支有交点的直线.
A √ 由得，，且，所以该方程存在1个正根，即直线与双曲线的右支有交点，所以是“B型直线”.
B × 直线是双曲线的一条渐近线，所以该直线和双曲线没有交点，即不是“B型直线”.
C √ 与曲线有交点，即是“B型直线”.
D √ 由得，故是“B型直线”.
10．答案：ACD
解析：
A √ C的渐近线方程为.
B × ，故点是C的右焦点.当直线l与C的右支交于A，B两点时，通径最短，为.当直线l与C的两支交于A，B两点时，AB的最小值为.综上，若，则满足条件的直线l有3条.
C √ C的渐近线方程为，与C的两支各有一个交点的直线的斜率，而，故斜率为1.1的直线满足条件.
D √ 过点能作2条与渐近线平行的直线和2条切线，均与C只有一个交点，故满足条件的直线有4条.
11．答案：BCD
解析：A中，，不是黄金双曲线.B中，，即，即.又，所以，是黄金双曲线.C中，因为，所以，所以，化简得，由B选项知是黄金双曲线.D中，因为，且轴，所以是等腰直角三角形，所以，即，由B选项知是黄金双曲线.故选BCD.
12．答案：6
解析：因为,所以,所以该双曲线的虚轴长为6.
13．答案：
解析：不妨设点M在第一象限,连接,则,,
故,,
设,因为,所以M为的中点,
,故.,,
将代入中,故,则.
故答案为：.
14．答案：
解析：过点P作x轴的垂线垂足为D，由已知得，，
则，，解得，
点P的坐标为，
将点的坐标代入双曲线方程得，
整理得，
将代入得，
即，解得或
，舍去，
，
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得.①
因为双曲线的渐近线方程为，所以.②
又，③
所以由①②③得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为，
将直线PQ的方程代入C的方程，整理得，
则，，所以，
所以.
设点M的坐标为，则
两式相减，得，
又，
所以，
解得；
两式相加，得，
又，
所以，
解得.
因此，点M的轨迹为直线，其中k为直线PQ的斜率.
方案一：选择①②.
因为，所以直线AB的方程为，设，，
不妨令点A在直线上，
则由解得，，
同理可得，，
所以，.
点M的坐标满足
得，，
故M为AB的中点，即.
方案二：选择①③.
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点，此时M不在直线上，矛盾.
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为，，，
不妨令点A在直线上，
则由解得，，
同理可得，，
因为M在AB上，且，
所以，，
又点M在直线上，所以，
解得，因此.
方案三：选择②③.
因为，所以直线AB的方程为，设，，
不妨令点A在直线上，
则由解得，，
同理可得，.
设AB的中点为，则，.
因为，所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线，即上，
与联立，得，，
即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
因为
所以，
即有，
所以，
所以直线的方程为，即.
17．答案：存在同时满足条件的双曲线，且所求双曲线的方程为或
解析：假设存在同时满足题中两个条件的双曲线.
若焦点在x轴上，渐近线的方程为，
可设所求双曲线方程为.
设，则.
①若，即，当时，无解.
②若，即，当时，，
或（舍去），
所求双曲线的方程为.
若焦点在y轴上，渐近线的方程为，
可设所求双曲线的方程为.
，
当时，，解得.
所求双曲线的方程为.
综上所述，存在同时满足条件的双曲线，且所求双曲线的方程为或.
18．答案：
解析：由已知条件，得圆E的半径.
设圆P的半径为R，则，
所以，
所以.
由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线的左支，
其中，，所以.
所以所求轨迹方程为.
19．答案：
解析：，，
.①
又，②
由，得.
，.
故所求双曲线的方程为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)