2024-2025学年四川省成都市郫都区高三（上）段考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市郫都区高三（上）段考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则集合的真子集有( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子现将个红色的“将”“车”“马”棋子与个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若双曲线的一条渐近线为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A. B.
C. D.
7.过点可作曲线的切线条数为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，，且，则下列说法正确的是( )
A. 当或时，取得最大值 B.
C. 成立的的最大值为 D.
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
11.随机事件，满足，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为，则 ______．
13.已知关于，的一组数据：
根据表中数据得到的线性回归直线方程为，则的值______．
14.如图，在多面体的顶点处有一质点，质点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次若质点的初始位置在点处，记质点移动次后仍在平面上的概率为，则 ______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：．
证明：是等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，为的中点．
证明：；
求平面与平面所成二面角的正弦值．
17.本小题分
在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了名学生，其中男生和女生人数之比为：，现将一周内在食堂就餐超过次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有人．
男生 女生 合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐
合计
将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；
用频率估计概率，从该校学生中随机抽取名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为事件“”的概率为，求随机变量的期望和方差．
参考公式：，其中
18.本小题分
已知点，，点在以为直径的圆上运动，轴，垂足为，点满足点的轨迹为，过点的直线交于点，．
求的方程；
若直线的倾斜角为，求直线被圆截得的弦长；
设直线，的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值．
19.本小题分
定义运算：，已知函数，．
若函数的最大值为，求实数的值；
证明：．
若函数存在两个极值点，，证明：．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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7.
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9.
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13.
14.
15.证明：由得，
，
又，
故是以为首项，为公比的等比数列．
解：由知，，
则，
故．
16.解：证明：取的中点，连接，，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
因为为等边三角形，是的中点，所以，
因为，平面，且，
所以平面，
因为平面，
所以；
因为，，由知四边形为矩形，则，
又平面，所以平面，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
由知：平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
，
设平面与平面所成二面角为，
则，
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
17.解：列联表补充完整，得：
男生 女生 合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐
合计
零假设：假设食堂就餐与性命无关，
由列联表可得：，
根据小概率的独立性检验推断不成立，
依据小概率值的独立性检验得到学生喜欢食堂就餐与性别有关．
由题意昨抽取的名学生中，喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项公布，
且喜欢饭堂就餐的频率为，则，
随机变量的期望为，
方差为．
18.解：由题意，点在圆上运动，设，，，
由得，，又，
所以，
所以的方程为．
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为．
证明：由题意，直线斜率不为，设直线的方程为，，，
联立，消去得，
所以，
故，
所以．
19.解：由题意知：，
，
当时，，在上单调递减，不存在最大值；
当时，由，得，
当时，；当时，，
函数的单调增区间为，单调减区间为．
，
令，
求导得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因此，
；
证明：由知，，
即，
当时，．
，
；
证明：，
，
函数存在两个极值点，等价于
方程有两个不相等的正实数根，
故，解得，
，
要证，即证，
，
不妨令，
故，
由，得，
令，
在恒成立，
所以函数在上单调递减，
故．
成立．
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