2024-2025学年湖南省长沙市高三（上）摸底数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市高三（上）摸底数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足：，则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆及圆：，如图过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，，且有，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.若函数是上的单调函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在，，，满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若是无理数，是有理数，则是无理数
B. 若，则
C. 若“，”是真命题，则
D. 已知，是方程的两个实根，则
10.若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则( )
A. B. 点是函数的对称中心
C. 函数在上单调递增 D. 直线是函数图象的对称轴
11.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，设它的第项，若序列的所有项都是，且，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知，则 ______．
13.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为______．
14.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
已知，为边上的一点，若，，求的长．
16.本小题分
如图，直三棱柱中，，为上一点，且：：．
证明：平面平面；
若直三棱柱的体积为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程与离心率；
已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．
18.本小题分
在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军．
当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及；
若累计得分为的概率为，初始得分为分，
求的表达式
求获得亚军的概率．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调增区间；
若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
若，且对任意，，，都有，求实数的最小值．
参考答案
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15.解：，
，
即，
所以，因为，
所以，，
因为，
所以
因为，，，根据余弦定理得
，．
A.
在中，由正弦定理知，，
，，
，
．
16.解：证明：如图，作交于点，交于点，连接，
因为，
所以，所以，
所以由等面积可得，
由勾股定理得，
所以，所以，
又，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为直三棱柱平面平面，平面平面，，
所以平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
因为直三棱柱的体积为，所以，解得，
所以，
由题知平面，又，平面，
所以，，两两垂直，
以点为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
易知为锐角，所以二面角的余弦值为．
17.解：设双曲线的焦点，则到直线的距离为，
则，则，
双曲线渐近线的斜率，又，
所以，，
所以双曲线的方程：；
双曲线的离心率；
设直线：，，，
联立，消去，整理得，
则，所以，，
所以，
解得或舍去，
所以，，
由直线的方程：，令，，
所以，
所以，
所以的面积．
18.解：设进行完轮答题时，得分的次数为，．
，，，，，
随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
；
当时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则，
累计得分为分的情况分两种：
，即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为．
，即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为．
则，所以．
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以．
由得，，，，
各式累加得：．
而，所以．
所以获得冠军的概率：．
所以获得亚军的概率为：．
19.解：当时，．
则
令，得，即，解得：或．
因为函数的定义域为，
所以函数的单调增区间为．
由函数．
因为函数在上是增函数，
所以对恒成立．
即对恒成立．
所以
即实数的取值范围是．
因为，由知函数在上是增函数．
因为，，，不妨设，所以
由恒成立，可得，
即恒成立．
令，则在上应是增函数．
所以对恒成立．
即对恒成立．
即对恒成立
因为当且仅当即时取等号，
所以．
所以实数的最小值为．
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