江西省宜春2015-2016学年新课标人教B版高中数学必修一第二章函数单元检测试卷
文档属性
| 名称 | 江西省宜春2015-2016学年新课标人教B版高中数学必修一第二章函数单元检测试卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 247.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-11 08:51:30 | ||
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文档简介
一、选择题
1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中与函数是同一个函数的是 （ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点位于区间 （ ）
A． B． C． D．
4．函数=的定义域为（ ）
A.［1，+∞） B. [，1］ C.（，+∞） D.（，1］
5．在 上（ ▲ ）
A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值
6．已知f(x)＝，则f[f()]的值是( )
A．－1 B．－2 C． D．－
7．已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）
A. 函数在或内有零点
B. 函数在内无零点
C. 函数在内有零点
D. 函数在内不一定有零点
8．若关于实数有，则
A．x=0 B．x>4
C．x<－1或x>4 D．x=－2
9．设函数=(x-a)(x-b)(x-c),(a,b,c是两两不等的常数),则++等于（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
10.．下列各图中，可表示函数y＝g（x）的图象的只可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
11．已知，函数 的零点分别为，函数 的零点分别为，则的最小值为（ ）
A.1 B． C. D.3
12．已知直线：．若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①；②；③；④；则其中直线的“绝对曲线”有 （ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题
13.．若函数是偶函数，则实数的值为 ．
14．
15．已知函数在区间 2上存在零点，那么实数a的取值范围是_________.
16.．设奇函数的定义域为.若当时, 的图象如右图，则不等式的解集是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
17．设函数 ，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.
18．已知函数.
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数，并指出相应的单调性．
19.函数
（1）若f(-1)=0,并对恒有，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，对，=—kx是单调函数，求k的范围。
20．已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立．
（1）求的解析表达式；
（2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．
21.已知函数f (x)=x 2+ax ，且对任意的实数x都有f (1+x)=f (1－x) 成立.
（1）求实数 a的值；
（2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞ 上是增函数.
22.已知函数（为常数，为自然对数的底数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数．
（1）求实数的值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）讨论关于的方程的根的个数．
参考答案
1.【答案】D
【解析】
试题分析：当时，；
当时，，所以函数的值域是。故选D。
考点：函数的值域
点评：求函数的值域，只要确定函数的最小值和最大值即可，最小值与最大值之间的范围就是值域。
2.【答案】A
【解析】
试题分析：原函数定义域R，A中函数与原函数定义域相同，对应关系相同，因此是同一函数；B中函数与原函数定义域不同；C中函数与原函数定义域不同；D中函数与原函数对应关系不同，故选A
考点：判断两函数是否为同一函数
3.【答案】C
【解析】故选C
4.【答案】D
【解析】
试题分析：为使函数有意义，须，所以，，解得函数定义域为（，1］。
考点：本题主要考查函数定义域求法。
点评：基础题题，求函数的定义域，往往要建立不等式组，依据是“分母不为0，偶次根号下式子不小于0，对数的真数大于0”等等。
5.【答案】A
【解析】解：因为，则利用导数与函数单调性的关系可知，导数恒大于零，则原函数单调递增。
6.【答案】D
【解析】。故选D
7.【答案】 C
【解析】 唯一的零点必须在区间，而不在
8.【答案】D
【解析】由题意知
9.【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc，
∴f′（x）=3x2-2（a+b+c）x+ab+bc+ca．
又f′（a）=（a-b）（a-c），
同理f′（b）=（b-a）（b-c），
f′（c）=（c-a）（c-b）．
∴++ =0．选A
10.【答案】D
【解析】
试题分析：由函数概念可知函数可以出现多对一，不能出现一对多，四个图像中A，B，C均出现了一对多的情况，因此不能表示函数
考点：函数概念及图像
11.【答案】B
【解析】
试题分析：由题意知：，，，，
∴，，∴，又，
∴，∴，∴的最小值为.
考点：函数零点.
12.【答案】D
【解析】
试题分析：由题意直线表示斜率为且过定点（1,1）的直线.(1)曲线①是由左右两支射线构成：时，是斜率为2且过点（1,0）的射线；时，是斜率为-2且过点（1,0）的射线.作图可知：当，直线仅与曲线①右支射线有一个交点；当时，直线与曲线①无交点；当时，直线仅与曲线①左支射线有一个交点.所以直线与曲线①最多只有一个交点，不符题意，故曲线①不是直线的“绝对曲线”.(2)因为定点（1，1）在曲线②上，所以直线与曲线②恒有交点，设曲线②与直线的两交点为、，易知 ，联立直线与曲线②方程，化简得：.
，.,从而可知当且仅当时直线与曲线②仅一个交点.两边平方，化简得：.设，则，，且是连续函数，所以在（0,2）上有零点，即方程在（0,2）上有根，且在（0,2）上曲线②与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线②与直线两个不同交点为端点的线段长度恰好等于，故曲线②是直线的“绝对曲线”.(3)曲线③表示圆心在（1,1）且半径为1的圆,它与直线两个交点为端点的线段长度恒为2，为2或-2时满足题意，故曲线③是直线的“绝对曲线”.(4)因为定点（1，1）在曲线④上，所以直线与曲线④恒有交点，设曲线④与直线的两交点为、，易知 ，联立直线与曲线④方程，化简得：,
,,从而可知当且仅当时直线与曲线④仅一个交点.两边平方，化简得：.,，,且是连续函数，所以在上有零点，即方程在上有根，且在上曲线④与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线④与直线两个交点为端点的线段长度恰好等于，故曲线④是直线的“绝对曲线”.
考点：曲线与直线的方程、函数的零点
13.【答案】0
【解析】为偶函数，显然
14.【答案】0
【解析】令1-2x=3,所以x=-1,所以
15.【答案】
【解析】解：因为函数f’(x)=-3x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+6x+9=-3(x2-2x-3)=-3（x-3）(x+2)因为在给定区间有零点，利用函数单调性和极值可知实数a的范围是【-22,5】
16.【答案】
【解析】奇函数的图象关于原点对称。因为当时不等式的解集为，的解集是（0,2）；所以时，不等式的解集（－2,0），故不等式的解集是。
17.【答案】（I）当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II）的取值范围是（1，6）
【解析】(1)利用导数大（小）于零，来求其单调性.
(2)当x≥0时,利用导数求f(x)的最小 ( http: / / www.21cnjy.com )值，根据最小值大于零，求出a的取值范围.求导本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围.
18.【答案】（1）1,37
（2）当，即时，在上单调递增
当，即时，在上单调递减
【解析】
⑴当时，……2分 函数图象对称轴
⑵，对称轴，
当，即时，在上单调递增
当，即时，在上单调递减
19.【答案】f(x)=x2+2x+1，
【解析】解:(1)由 f(-1)=0得a-b+1=0
又因为对恒有，⊿=b2-4a≤0,得（a+1）2-4a≤0, （a-1）2≤0,
所以a=1 b=2 得 f(x)=x2+2x+1
（2）=—kx= x2+(2-k)x+1是单调函数，则
，所以得
20.【答案】（1）（2）
【解析】本题主要考查二次函数的概念、导数的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，求导的能力、运算的能力、问题转换的能力以及数形结合的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．
( http: / / www.21cnjy.com )
21.【答案】（1）a＝－2.
（2） 略
【解析】解：（1）由f (1+x)=f (1－x)得，
(1＋x)2＋a(1＋x)＝(1－x)2＋a(1－x)，
整理得：(a＋2)x＝0，
由于对任意的x都成立，∴ a＝－2. ----------------------------------------（6分）
22.【答案】（1）；（2）；（3）当，即时，方程无实根；
当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根．
【解析】
试题分析：（1）由奇函数性质可得，根据恒等式关系可得实数的值（2）先根据函数在区间上是减函数，恒成立，得出参数取值范围，而不等式恒成立，一般转化研究对应函数最值，即，再转化为不等式关于参数恒成立，利用一次函数性质得不等关系，解不等式组就可解得实数的取值范围（3）化简方程得：，这可看作两个函数，利用导数研究它们值域包含关系，就可研究根的个数
试题解析：解：（1）是奇函数，
，即恒成立，
．即恒成立，
故
（2）由（l）知，
要使是区间上的减函数，则有恒成立，．
又要使在上恒成立，
只需在时恒成立即可．
（其中）恒成立即可．
令，则即
而恒成立，
（3）由（1）知方程，即，
令
当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数；
当时，．
而
当时是减函数，当时，是增函数，
当时，．
故当，即时，方程无实根；
当，即时，方程有一个根；
当，即时，方程有两个根．
考点：奇函数性质，不等式恒成立，函数与方程
1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中与函数是同一个函数的是 （ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点位于区间 （ ）
A． B． C． D．
4．函数=的定义域为（ ）
A.［1，+∞） B. [，1］ C.（，+∞） D.（，1］
5．在 上（ ▲ ）
A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值
6．已知f(x)＝，则f[f()]的值是( )
A．－1 B．－2 C． D．－
7．已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）
A. 函数在或内有零点
B. 函数在内无零点
C. 函数在内有零点
D. 函数在内不一定有零点
8．若关于实数有，则
A．x=0 B．x>4
C．x<－1或x>4 D．x=－2
9．设函数=(x-a)(x-b)(x-c),(a,b,c是两两不等的常数),则++等于（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
10.．下列各图中，可表示函数y＝g（x）的图象的只可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
11．已知，函数 的零点分别为，函数 的零点分别为，则的最小值为（ ）
A.1 B． C. D.3
12．已知直线：．若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①；②；③；④；则其中直线的“绝对曲线”有 （ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题
13.．若函数是偶函数，则实数的值为 ．
14．
15．已知函数在区间 2上存在零点，那么实数a的取值范围是_________.
16.．设奇函数的定义域为.若当时, 的图象如右图，则不等式的解集是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
17．设函数 ，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.
18．已知函数.
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数，并指出相应的单调性．
19.函数
（1）若f(-1)=0,并对恒有，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，对，=—kx是单调函数，求k的范围。
20．已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立．
（1）求的解析表达式；
（2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．
21.已知函数f (x)=x 2+ax ，且对任意的实数x都有f (1+x)=f (1－x) 成立.
（1）求实数 a的值；
（2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞ 上是增函数.
22.已知函数（为常数，为自然对数的底数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数．
（1）求实数的值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）讨论关于的方程的根的个数．
参考答案
1.【答案】D
【解析】
试题分析：当时，；
当时，，所以函数的值域是。故选D。
考点：函数的值域
点评：求函数的值域，只要确定函数的最小值和最大值即可，最小值与最大值之间的范围就是值域。
2.【答案】A
【解析】
试题分析：原函数定义域R，A中函数与原函数定义域相同，对应关系相同，因此是同一函数；B中函数与原函数定义域不同；C中函数与原函数定义域不同；D中函数与原函数对应关系不同，故选A
考点：判断两函数是否为同一函数
3.【答案】C
【解析】故选C
4.【答案】D
【解析】
试题分析：为使函数有意义，须，所以，，解得函数定义域为（，1］。
考点：本题主要考查函数定义域求法。
点评：基础题题，求函数的定义域，往往要建立不等式组，依据是“分母不为0，偶次根号下式子不小于0，对数的真数大于0”等等。
5.【答案】A
【解析】解：因为，则利用导数与函数单调性的关系可知，导数恒大于零，则原函数单调递增。
6.【答案】D
【解析】。故选D
7.【答案】 C
【解析】 唯一的零点必须在区间，而不在
8.【答案】D
【解析】由题意知
9.【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc，
∴f′（x）=3x2-2（a+b+c）x+ab+bc+ca．
又f′（a）=（a-b）（a-c），
同理f′（b）=（b-a）（b-c），
f′（c）=（c-a）（c-b）．
∴++ =0．选A
10.【答案】D
【解析】
试题分析：由函数概念可知函数可以出现多对一，不能出现一对多，四个图像中A，B，C均出现了一对多的情况，因此不能表示函数
考点：函数概念及图像
11.【答案】B
【解析】
试题分析：由题意知：，，，，
∴，，∴，又，
∴，∴，∴的最小值为.
考点：函数零点.
12.【答案】D
【解析】
试题分析：由题意直线表示斜率为且过定点（1,1）的直线.(1)曲线①是由左右两支射线构成：时，是斜率为2且过点（1,0）的射线；时，是斜率为-2且过点（1,0）的射线.作图可知：当，直线仅与曲线①右支射线有一个交点；当时，直线与曲线①无交点；当时，直线仅与曲线①左支射线有一个交点.所以直线与曲线①最多只有一个交点，不符题意，故曲线①不是直线的“绝对曲线”.(2)因为定点（1，1）在曲线②上，所以直线与曲线②恒有交点，设曲线②与直线的两交点为、，易知 ，联立直线与曲线②方程，化简得：.
，.,从而可知当且仅当时直线与曲线②仅一个交点.两边平方，化简得：.设，则，，且是连续函数，所以在（0,2）上有零点，即方程在（0,2）上有根，且在（0,2）上曲线②与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线②与直线两个不同交点为端点的线段长度恰好等于，故曲线②是直线的“绝对曲线”.(3)曲线③表示圆心在（1,1）且半径为1的圆,它与直线两个交点为端点的线段长度恒为2，为2或-2时满足题意，故曲线③是直线的“绝对曲线”.(4)因为定点（1，1）在曲线④上，所以直线与曲线④恒有交点，设曲线④与直线的两交点为、，易知 ，联立直线与曲线④方程，化简得：,
,,从而可知当且仅当时直线与曲线④仅一个交点.两边平方，化简得：.,，,且是连续函数，所以在上有零点，即方程在上有根，且在上曲线④与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线④与直线两个交点为端点的线段长度恰好等于，故曲线④是直线的“绝对曲线”.
考点：曲线与直线的方程、函数的零点
13.【答案】0
【解析】为偶函数，显然
14.【答案】0
【解析】令1-2x=3,所以x=-1,所以
15.【答案】
【解析】解：因为函数f’(x)=-3x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+6x+9=-3(x2-2x-3)=-3（x-3）(x+2)因为在给定区间有零点，利用函数单调性和极值可知实数a的范围是【-22,5】
16.【答案】
【解析】奇函数的图象关于原点对称。因为当时不等式的解集为，的解集是（0,2）；所以时，不等式的解集（－2,0），故不等式的解集是。
17.【答案】（I）当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II）的取值范围是（1，6）
【解析】(1)利用导数大（小）于零，来求其单调性.
(2)当x≥0时,利用导数求f(x)的最小 ( http: / / www.21cnjy.com )值，根据最小值大于零，求出a的取值范围.求导本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围.
18.【答案】（1）1,37
（2）当，即时，在上单调递增
当，即时，在上单调递减
【解析】
⑴当时，……2分 函数图象对称轴
⑵，对称轴，
当，即时，在上单调递增
当，即时，在上单调递减
19.【答案】f(x)=x2+2x+1，
【解析】解:(1)由 f(-1)=0得a-b+1=0
又因为对恒有，⊿=b2-4a≤0,得（a+1）2-4a≤0, （a-1）2≤0,
所以a=1 b=2 得 f(x)=x2+2x+1
（2）=—kx= x2+(2-k)x+1是单调函数，则
，所以得
20.【答案】（1）（2）
【解析】本题主要考查二次函数的概念、导数的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，求导的能力、运算的能力、问题转换的能力以及数形结合的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．
( http: / / www.21cnjy.com )
21.【答案】（1）a＝－2.
（2） 略
【解析】解：（1）由f (1+x)=f (1－x)得，
(1＋x)2＋a(1＋x)＝(1－x)2＋a(1－x)，
整理得：(a＋2)x＝0，
由于对任意的x都成立，∴ a＝－2. ----------------------------------------（6分）
22.【答案】（1）；（2）；（3）当，即时，方程无实根；
当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根．
【解析】
试题分析：（1）由奇函数性质可得，根据恒等式关系可得实数的值（2）先根据函数在区间上是减函数，恒成立，得出参数取值范围，而不等式恒成立，一般转化研究对应函数最值，即，再转化为不等式关于参数恒成立，利用一次函数性质得不等关系，解不等式组就可解得实数的取值范围（3）化简方程得：，这可看作两个函数，利用导数研究它们值域包含关系，就可研究根的个数
试题解析：解：（1）是奇函数，
，即恒成立，
．即恒成立，
故
（2）由（l）知，
要使是区间上的减函数，则有恒成立，．
又要使在上恒成立，
只需在时恒成立即可．
（其中）恒成立即可．
令，则即
而恒成立，
（3）由（1）知方程，即，
令
当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数；
当时，．
而
当时是减函数，当时，是增函数，
当时，．
故当，即时，方程无实根；
当，即时，方程有一个根；
当，即时，方程有两个根．
考点：奇函数性质，不等式恒成立，函数与方程