河南省“创新发展联盟·金太阳”2025届高三9月联考（二）数学试卷（含答案）

河南省“创新发展联盟·金太阳”2025届高三9月联考（二）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知符号表示不平行，向量，设命题，，则( )
A. ，，且为真命题
B. ，，且为真命题
C. ，，且为假命题
D. ，，且为假命题
3.若，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，且，则“”是“的公比为”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数，若，且，是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，连接，若，则( )
A. B. C. D.
7.若，对恒成立，则( )
A. B. C. D.
8.已知是函数图象上的一点，点在直线上，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列，的前项和分别为，，且，则下列结论不正确的是( )
A. 若是递增数列，则是递增数列 B. 若是递减数列，则是递减数列
C. 若是递增数列，则是递增数列 D. 若是递减数列，则是递减数列
10.已知为奇函数，，且对任意，都有，则必有( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称
C. 的值域为 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，的对边分别是，，，且，，，则外接圆的面积是 ．
13.已知某种污染物的浓度单位：摩尔升与时间单位：天的关系满足指数模型，其中是初始浓度即时该污染物的浓度，是常数第天即测得该污染物的浓度为摩尔升，第天测得该污染物的浓度为摩尔升，若第天测得该污染物的浓度变为，则 ．
14.年，年仅岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分高斯墓碑上刻着如图所示的图案设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，，A.
求的值
若，求的周长．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式
求的零点
将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
17.本小题分
已知函数，且．
求的值
求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间与极值
当时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
设数列的前项和为，若对任意的，都有为非零常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比．
若，判断是否为“和等比数列”．
已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前项和为．
求的和公比
求
若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，且，所以．
因为，所以，
所以，即C.
因为，所以
又因为，所以
由可知，，，，
则
由正弦定理可得，则，
故的周长为．
16.解：由图可知，，
的最小正周期因为，且，所以．
因为的图象经过点，所以，即，所以，即．
因为，所以．
故．
令，得，则或，
解得或，
故的零点为或．
由题意可得．
因为，所以
当，即时，取得最大值
当，即时，取得最小值．
故在上的值域为．
17.解：因为，所以，则．
又，
所以，
从而．
由可知，
显然在上单调递增．
因为，所以由，可得，则，解得或，
故不等式的解集为
18.解：当时，，其定义域为，
则．
当时，，的单调递增区间为，当时，，的单调递减区间为，
故的极大值为，无极小值．
设，，，，则．
设，则，
设，则函数的图象关于直线对称．
当时，在上单调递减．
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，
则在上单调递减，即在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，则，即在上恒成立，故符合题意．
当时，在上单调递减或在上先增后减，
因为，所以存在，使得．
当时，，即，所以在上单调递增．
因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，则，
故不符合题意．
综上，的取值范围为．
19.解：因为，所以，所以，
因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
则，所以，
所以．
因为不是常数，所以不是“和等比数列”．
设等差数列的公差为，前项和为，
则，
所以．
因为是“和等比数列”，
所以，即，
所以解得，
即的和公比为．
由可知，则，
所以，
所以，
所以，
即，所以．
设，
．
不等式对任意的恒成立，
即不等式对任意的恒成立．
当为奇数时，，则
当为偶数时，，则．
综上，的取值范围是
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