第六章 平面向量及其应用 小结 教学设计（表格式）-2024--2025学年高中《数学》·必修第2册人教A版

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一年级 学期 (春季)
课题 第六章 平面向量及其应用 小结
教科书 书 名：普通高中教科书 数学 必修 第二册 教材 出版社：人民教育 出版社
教学目标
1.掌握平面向量基底运算、坐标运算、几何解法. 2.学会用常用的二级结论：极化恒等式，三角不等式，矩形大法等去解决向量问题。 3.经历平面向量解决问题的形成过程，初步体会学习解决向量综合问题基本思路和基本方法.
教学内容
教学重点： 用向量方法解决实际问题的基本思路和基本方法；
2. 解决向量的问题各种方法的优缺点，如何根据题目去选择.
教学难点： 1.向量问题数与形之间的转化. 2.向量的最值、取值范围问题.
教学过程
一 复习回顾 【引导语】 同学们，通过上一阶段的向量知识的学习，我们已经知道了向量问题既可以用向 量的代数运算来转化解决，也可以利用向量几何作图来转化解决.那么，平面向量问题的解法主 要有哪些呢？下面我们来一起回顾下： 1.基底法：所谓基底法，就是选取两个不共线的向量，将其他所有向量都用这两个向量表示， 所有的运算都转化为这两个向量的数量积的运算（包括模的运算或夹角的运算）. 2.坐标法：所谓坐标法，就是建立恰当的平面直角坐标系，将所有的点的坐标都写出、设出或求出来，将所有运算转化为坐标运算,再将坐标运算结果翻译成向量研究问题的结论. 3.几何法：所谓几何法，就是向量的模、夹角、投影向量有着明显的几何意义，将已知条件或所求结果翻译成几何图形来加以解决. 4.常用二级结论法：所谓二级结论法，就是用极化恒等式，三角不等式，矩形大法等已有的向量 二级结论去解决向量问题. 为此本节课专门研究用这些方法来具体解决向量问题，请看下面例题. 二 例题探究 例1.设,是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（ ） A. B. C. D. 分析：本题考查向量数量积的最值问题，在处取得最小值，是边上一定点，这可以推知满足某些条件. 法一：基底法 设，则， ，由题可知关于的二次函数在处取得最小值，故，即，设角所对的三边长分别，结合余弦定理知：，整理得，即，故选D. 法二：坐标法 如图一所示，以线段的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，设， 则，设，其中， 则， 由题可知，关于的二次函数在处取得最小值，故， 所以，得点在轴上，即，故选D. 法三：极化恒等式法+几何法 如图二所示，取中点，由极化恒等式得 ，其中为动点，为定点，为定值，上述的最小值取决于的最小值.而上的点与点形成的线段中，最短，说明，取的中点，由于，则是的中点，故的中线，为等腰三角形，即，故选D. 【小结】本题是一个向量数量积最值问题，需要引进变量，建立函数模型，方法一基底 法和方法二坐标法将数量积转化为函数的最值，并将取得最小值时变量的值翻译回几何结论， 方法三利用了极化恒等式将数量积的最小值转化为定点与直线上动点的距离最小值问题.直观 感知,当定点与动点连线垂直动点所在直线时，两点距离最小.本题可以从数与形两个角度来解决 ，值得细细回味. 已知向量是平面向量，是单位向量，且， ，则的取值范围为________ 分析：本题是一个有趣的向量模长问题，三个模长为1,2,3的动向量 分别用向量表示，由已知 即，求的取值范围. 解法一：构图法+矩形大法+向量三角不等式 如图三，设为矩形，由矩形大法得： 由矩形对角线等长知 结合向量三角不等式得： 当且仅当三点共线时取等号(如图四、五). 解法二：基底法+向量三角不等式 而，结合向量三角不等式 得 再由恒等式 【小结】本题是一个模长取值范围问题，涉及多个向量之间的关系，无论从形和数的解决都需要 掌握一定的技巧，具有较强的综合性.从几何角度分析，关键在于矩形大法知为定值，再由 矩形对角线长度相等，将转化为长度.再由三角不等式得取值范围，方法二数的 运算就是向量几何解法的代数体现.本题可以从数形两方面来解决，运用矩形大法，三角不式等 方法综合解决向量问题，值得细细推敲和研究. 例3.已知，，若向量满足， 则的最小值为________的最大值为________ 解法一：几何法+三角不等式+投影向量 如图分别表示向量.由已知 . 点是以为直径的圆上的点， 取中点，由三角不等式知：. 第二问： ，当且仅当同向时取等号. 的最大值是.当然此问题可以几何法解决. 如图七，结合图像可以直接考虑动向量在定向量的投影 向量与数量积最大时，即当，作于点， 解法二：坐标法+三角换元 建立直角坐标系如图八，则，， 设，根据已知条件，可得. 可令， 当时，，得的最小值是. 对于第二个问题，，当且仅当时取等号，的最大值是. 【小结】本题从数和形两个角度解决了向量模长和数量积问题.从几何角度分析，关键在于得出 动向量终点的轨迹是以为直径的圆，然后将向量模长最值问题转化为圆外定点 与圆上动点的距离最值问题，直观感知可得当动点、定点、圆心三点共线时取得，第二问研究 动向量与定向量的数量积最值问题转化为研究动向量在定向量的投影向量，直观感知后作图可 得；从数的角度，本题解法二采用了坐标运算、三角代换来解决，具有一定的综合性. 三 课堂小结 (1)这节课我们学习了什么？ 学习了向量问题的解法探究， 解决向量问题的解法有哪些呢？ 基底法、坐标法、几何法、三角不等式、常用二级结论法. (3)给你有什么启示？ 在学习中，我们要注重积累方法，学会从不同角度分析和解决问题，不断提高自己分析 和解决问题的能力. 四 布置作业 练习1.设平面上不共线的三个单位向量，满足， 若，则的取值范围为_____________