九年级数学上点拨与精练 第23章旋转 23.1 图形的旋转（含解析）

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九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.1 图形的旋转
学习目标：
1.通过具体实例认识平面图形的旋转定义及相关概念；
2.能列举生活、生产中旋转的实例，理解旋转的有关概念
老师告诉你
理解旋转必须明确两点：
图形绕着某一定点旋转，这一定点可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点，这一定点即为旋转中心。
旋转的决定因素：（1）旋转中心（2）旋转角（3）旋转方向。
一、知识点拨
知识点1图形的旋转及其相关概念
1.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.
注意 :
（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
【新知导学】
例1-1．下列现象属于旋转的是（　　）
A. 电梯的上下移动
B. 飞机起飞后冲向空中的过程
C. 幸运大转盘转动的过程
D. 笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【对应导练】
1．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　）
A. 钟表的指针和钟摆的运动
B. 站在电梯上的人的运动
C. 坐在火车上睡觉
D. 地下水位线逐年下降
2．图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（　　）
A. B.
C. D.
3．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．结合你所学知识，如图所示的“琮琮”经过旋转不能得到的是（　　）
A. B.
C. D.
4．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
知识点2、旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
注意 ：
（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.
（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.
（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。
【新知导学】
例2-1．如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=50°，则∠EFC的度数为（　　）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
【对应导练】
1．如图，在扇形纸片AOB中，OA=12，∠AOB=30°，OB在桌面内的直线l上，现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（　　）
A. 12π B. 13π
C. 14π D. 10-5
2．如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF=2CF，则图中阴影部分的面积是（　　）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC=（　　）
A. 19° B. 20° C. 21° D. 22°
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．
（1）求证：BF=EF-ED；
（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．
二、题型训练
1.利用旋转性质求角度
1．如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．
（1）如图1，求∠EFB的度数；
（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．
①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为_____°；
②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．
2．如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，求∠BDE的度数．
2.利用旋转性质求边的关系
3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP=CQ=2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．
（1）如图1求证：AP=BQ；
（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP长．
4．如图，△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合．
（1）AC=5，AB=2，求CD的长；
（2）延长ED交BC于点M，∠BAC=70°，求∠CME的度数．
3.利用旋转的性质证明线段的关系
5．如图，已知Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，求证：CD=2AB．
6．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADK，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．
7．如图，△ABC为等边三角形，AB=6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF=2CF，连接BF．
（1）如图①，当θ=60°时，求EF的长；
（2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值．
课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列图形都由若干个小图组成，其中可以由它的一个小图经过平移而得的图形是(　 　)
A. B.
C. D.
2．如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′=（　　）
A. 60° B. 105° C. 120° D. 135
3．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（　　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
4．如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A. 3 B.
C. 3- D. 3-
5．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠BAC=25°，则∠ADE=（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
6．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若AC=15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）
A. 10πcm B. 10πcm
C. 15πcm D. 20πcm
7．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　）
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若AD=4，CD=2，则BD的长为（　　）
A. 6 B. 2
C. 5 D. 2
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了_____度．
10．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB=_____．
11．如图，如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有_____个．
12．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为_____．
13．如图，等腰△ABC中，∠BAC=150°，D是AB上一点，AD=1，BD=4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为_____．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案．
（1）请用平移、旋转、轴对称分析各图案的形成过程？
（2）哪几个图案可以经过平移得到？哪几个图案可以经过旋转得到？哪几个图案可以经过轴对称得到？
15．（8分）如图，已知AD=AE，AB=AC．
（1）求证：∠B=∠C；
（2）若∠A=50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
16．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB′C′的位置，点B′恰好落在边BC的中点处，求旋转角的大小．
17．（9分）一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒．
（1）当t=_____秒时，DE∥AB；当t=_____秒时，DE⊥AB；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值；
（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，连接AE，设∠BAE=x°，∠AED=y°，∠DFB=z°，试问x+y+z是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
18．（9分）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP、BP．
（1）求证：BP=MN；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，试证明BM=MC．
19．（8分）如图所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和线段AD的长．
九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.1 图形的旋转（解析版）
学习目标：
1.通过具体实例认识平面图形的旋转定义及相关概念；
2.能列举生活、生产中旋转的实例，理解旋转的有关概念
老师告诉你
理解旋转必须明确两点：
图形绕着某一定点旋转，这一定点可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点，这一定点即为旋转中心。
旋转的决定因素：（1）旋转中心（2）旋转角（3）旋转方向。
一、知识点拨
知识点1图形的旋转及其相关概念
1.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.
注意 :
（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
【新知导学】
例1-1．下列现象属于旋转的是（　　）
A. 电梯的上下移动
B. 飞机起飞后冲向空中的过程
C. 幸运大转盘转动的过程
D. 笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【解析】由旋转的定义可知，旋转就是物体围绕一个点或一个轴做圆周运动；对于B，可知火车是直线运动，属于平移，不属于旋转，同理，分析其它选项，即可解答题目．
解：A、电梯的上下移动是平移，故此选项不符合题意；
B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项不符合题意；
C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项符合题意；
D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车属于平移，故此选项符合题意．
故选：C．
【对应导练】
1．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　）
A. 钟表的指针和钟摆的运动
B. 站在电梯上的人的运动
C. 坐在火车上睡觉
D. 地下水位线逐年下降
【答案】A
【解析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
2．图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据旋转的定义进行判断即可．
解：将它顺时针旋转90°后，只有B选项符合题意．
故选：B．
3．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．结合你所学知识，如图所示的“琮琮”经过旋转不能得到的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由如图图形旋转，分别判断、解答即可．
解：A、由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；
B、不能由图形旋转而得出；故本选项符合题意；
C、由如图图形经过旋转得到；故本选项不符合题意；
D、由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；
故选：B．
4．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】根据旋转的定义进行判断即可．
解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：
②传送带的移动，是平移，故不符合要求；
③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；
④风车的转动，是旋转，故符合要求；
⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；
⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；
故选：C．
知识点2、旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
注意 ：
（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.
（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.
（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。
【新知导学】
例2-1．如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=50°，则∠EFC的度数为（　　）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
【答案】C
【解析】由旋转的性质可知，BC=CD，∠B=∠EDC，∠A=∠E，∠ACE=∠BCD，可得∠B=∠BDC=65°，∠ACE=50°，由三角形内角和可得，∠A=90°-∠B=25°．从而得到∠E=25°．再由三角形内角和定理，即可求解．
解：由旋转的性质可知，BC=CD，∠B=∠EDC，∠A=∠E，∠ACE=∠BCD，
∵∠BCD=50°，
∴，∠ACE=50°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠B=25°．
∴∠E=25°．
∴∠EFC=180°-∠ECF-∠E=105°．
故选：C．
【对应导练】
1．如图，在扇形纸片AOB中，OA=12，∠AOB=30°，OB在桌面内的直线l上，现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（　　）
A. 12π B. 13π
C. 14π D. 10-5
【答案】C
【解析】根据题意得出O点的旋转轨迹为三段旋转角度分别是以OB为半径B点为圆心转过90°，与AB弧相等的弧长即30°圆弧，以OA为半径A点为圆心转过90°的圆弧，计算路线长度即可．
解：点O经过的路线长为++=14π，
故选：C．
2．如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF=2CF，则图中阴影部分的面积是（　　）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】连接BD，根据平行四边形的性质求出△COB的面积，根据BF=2CF求出△FOC的面积，同理得到△EOA的面积，得到答案．
解：连接BD，
∵点O是AC的中点，
∴点O在BD上，且点O是BD的中点，
∴△COB的面积=四边形ABCD的面积=3，
∵BF=2CF，
∴△FOC的面积=×△COB的面积=1，
由旋转性质同理可得，△EOA的面积=1，
∴图中阴影部分的面积=1+1=2，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC=（　　）
A. 19° B. 20° C. 21° D. 22°
【答案】B
【解析】由已知条件可求出∠CAB的度数，根据旋转的性质可得△ACD为等边三角形，可求出∠BAD、∠ADC的度数以及得到AB=AD，进而求出∠ADB的度数，由角的和差关系可得∠BDC的度数．
解：由旋转得：AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴AB=AD，∠ACB=∠ABC，
∴∠CAB=180°-2∠ACB=40°，∠BAD=∠CAD-∠CAB=60°-40°=20°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-20°）÷2=80°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=80°-60°=20°．
故选：B．
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．
（1）求证：BF=EF-ED；
（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．
【解析】（1）旋转△BCF使BC与CD重合，从而根据SAS证得△FCE≌△F′CE，从而可证得结论．
（2）根据等腰三角形的性质可得出∠BAC=∠BCA=50°，∠DEC=∠FEC=∠ECB=70°，从而可得出∠DCE的度数，也就得出了∠BCF的度数，再结合∠BCA=50°即可得出答案．
（1）证明：旋转△BCF使BC与CD重合，
∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，
∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，
∴A，D，F′共线，
∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF′=EF=DF′+ED，
∴BF=EF-ED；
（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，
∴∠ACB=50°，
由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
∴∠ECB=70°，
而∠B=∠BCD=80°，
∴∠DCE=10°，
∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．
二、题型训练
1.利用旋转性质求角度
1．如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．
（1）如图1，求∠EFB的度数；
（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．
①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为_____°；
②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．
【答案】30
【解析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）①根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD=∠A，再根据同角的余角相等可得∠ECB=∠ACD；
②分CE、DE、CD与AB平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可．
解：（1）∵∠A=30°，∠CDE=45°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，∠E=90°-45°=45°，
∴∠EFB=∠ABC-∠E=60°-45°=15°；
（2）①∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°，
∠ECB+∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACD=30°；
②如图1，CE∥AB，∠ACE=∠A=30°，
∠ECB=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120°；
如图2，DE∥AB时，延长CD交AB于F，
则∠BFC=∠D=45°，
在△BCF中，∠BCF=180°-∠B-∠BFC，
=180°-60°-45°=75°，
∴∠ECB=∠BCF+∠ECF=75°+90°=165°；
如图3，CD∥AB时，∠BCD=∠B=60°，
∠ECB=∠BCD+∠EDC=60°+90°=150°；
如图4，CE∥AB时，∠ECB=∠B=60°，
如图5，DE∥AB时，∠ECB=60°-45°=15°．
2．如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，求∠BDE的度数．
【解析】由将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，根据旋转的性质，可得∠ADE=∠B=40°，AB=AD，然后由等腰三角形的性质，可求得∠ADB的度数，继而求得答案．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，
∴∠ADE=∠B=40°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=40°，
∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=80°．
2.利用旋转性质求边的关系
3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP=CQ=2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．
（1）如图1求证：AP=BQ；
（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP长．
【解析】（1）欲证明PA=BQ，只要证明△ACP≌△BCQ即可；
（2）如图2中，作CH⊥PQ于H．首先证明A、P、Q共线，利用勾股定理求出AH，PH即可解决问题；
（1）证明：∵∠ACB=∠PCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，CP=CQ，
∴△△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP=BQ；
（2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H，
∵CP=CQ=2，
∴，
∵∠PCQ=90°，
∴，
∴，
∵AC=4，
∴，
∵点A、P、Q在同一直线，
∴．
4．如图，△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合．
（1）AC=5，AB=2，求CD的长；
（2）延长ED交BC于点M，∠BAC=70°，求∠CME的度数．
【解析】（1）由旋转可知△ABC≌△ADE，可得到AD=AB，可求得CD；
（2）同（1）可得到∠BAC=∠BAC=70°．
解：（1）∵△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合，
∴△ABC≌△ADE，
∴AD=AB=2，
∴CD=AC-AD=5-2=3；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠EDA=∠B，
∴∠CME=180°-∠CDM-∠C，∠BAC=180°-∠B-∠C，
又∵∠EDA=∠CDM，
∴∠CME=∠BAC=70°．
3.利用旋转的性质证明线段的关系
5．如图，已知Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，求证：CD=2AB．
【解析】由特殊角的性质可得BC=2AB，再由旋转的性质可得△CBD是等边三角形，即可推出结论．
证明：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴△CBD是等边三角形，
∴CD=BD，
∴CD=2AB．
6．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADK，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．
【解析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADK，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
解：由旋转的性质可得：AB=AD，
∵∠B=60o，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∵AB=2，BC=3.6，
∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．
故CD的长为1.6．
7．如图，△ABC为等边三角形，AB=6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF=2CF，连接BF．
（1）如图①，当θ=60°时，求EF的长；
（2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值．
【解析】（1）由将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，得∠BAD=θ，AB=AD，由△ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=60°，得AC=AD，得∠ADC=∠ACD，由θ=60°，得∠ADC=∠ACD=30°，由AE平分∠BAD，得∠CAE=90°，进而得DE=AE=，再解直角三角形得DE、AE，再由已知DF=2CF，求得CF，便可求得EF；
（2）作辅助线，构建等腰三角形和相似三角形，先证明FH=CH=2，再证明△FHM∽△AHF，得FM=AF，确定当B、F、M三点共线时，BF+FM=BF+AF的长最小，根据勾股定理可得结论．
解：（1）∵将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，如图，
∴∠BAD=θ，AB=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∵θ=60°，
∴∠DAC=120°
∴∠ADC=∠ACD=30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=30°，
∴∠EDA=∠EAD，∠CAE=90°，
∴DE=AE=，
∵AB=AC=6，
∴DE=AE=AC tan30°=2，
∴CE=4，
∴CD=CE+DE=6，
∵DF=2CF，
∴CF=CD=2，
∴EF=CE-CF=2；
（2）如图，过F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中点M，连接FM，则AM=CM=3，
∴△CFH∽△CDA，
∴，
∵DF=2FC，
∴，
∴CH=FH=2，
∴MH=3-2=1，
∵，，
∴，
∵∠FHM=∠AHF，
∴△FHM∽△AHF，
∴，
∴FM=AF，
∴当B、F、M三点共线时，BF+FM=BF+AF的长最小，如图，此时BM⊥AC，
∴BM=，
∴BF+AF的最小值为3．
课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列图形都由若干个小图组成，其中可以由它的一个小图经过平移而得的图形是(　 　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由旋转和平移的基本概念进行求解．
选项（A）由它的一个小图经过旋转而得的图形；
选项（B）由它的一个小图经过平移而得的图形；
选项（C）既不是由它的一个小图经过旋转也不是由它的一个小图经过平移得到；
选项（D）由它的一个小图经过轴对称变换而得的图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移，旋转和轴对称变换的基本概念，以上三种变换都不会改变图形的大小和形状，其中平移变换后的图形的与原图形的对应点的连线之间是平行等距的关系，牢记这一特征是解本题的关键．
2．如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′=（　　）
A. 60° B. 105° C. 120° D. 135
【答案】B
【解析】根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，再根据旋转的性质求出对应边的夹角∠CAC′=60°，然后根据∠BAC′=∠BAC+∠CAC′代入数据进行计算即可得解．
解：在等腰直角△ABC中，∠BAC=45°，
∵旋转角为60°，
∴∠CAC′=60°，
∴∠BAC′=∠BAC+∠CAC′=45°+60°=105°．
故选：B．
3．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（　　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【答案】C
【解析】根据旋转的性质可知，∠BCB′=∠ACA′=20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．
解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置
∴∠BCB′=∠ACA′=20°
∵AC⊥A′B′，
∴∠BAC=∠A′=90°-20°=70°．
故选：C．
4．如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A. 3 B.
C. 3- D. 3-
【答案】C
【解析】连接BM，根据旋转的性质和四边形的性质，证明Rt△ABM≌Rt△C′BM，得到∠2=∠3=30°，利用三角函数和三角形面积公式求出△ABM的面积，再利用阴影部分面积=正方形面积-2△ABM的面积即可得到答案．
解：连接BM，
在Rt△ABM和Rt△C′BM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△C′BM，
∠2=∠3==30°，
在△ABM中，
AM=×tan30°=1，
S△ABM==，
正方形的面积为：=3，
阴影部分的面积为：3-2×=3-，
故选：C．
5．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠BAC=25°，则∠ADE=（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】A
【解析】根据旋转的性质可得AC=CD，∠CDE=∠BAC，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，根据∠ADE=∠CED-∠CAD．
解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，∠CDE=∠BAC=25°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠ADE=∠CED-∠CAD=45°-25°=20°．
故选：A．
6．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若AC=15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）
A. 10πcm B. 10πcm
C. 15πcm D. 20πcm
【答案】A
【解析】利用互补计算出∠ACA′=120°，根据旋转的性质，得到顶点A从开始到结束所经过的路径为以点C为圆心，CA为半径，圆心角为120°的弧长，然后根据弧长公式计算．
解：∵∠ACB=60°，
∴∠ACA′=180°-∠ACB=120°，
∴顶点A从开始到结束所经过的路径长==10π（cm）．
故选：A．
7．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　）
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
【答案】C
【解析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．
解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°．
故选：C．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若AD=4，CD=2，则BD的长为（　　）
A. 6 B. 2
C. 5 D. 2
【答案】A
【解析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，
∴∠BAC=∠DAD'=90°，AC=AB，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′，
∵AD=AD'=4，∠DAD'=90°，
∴DD'===4，∠ADD'=45°，且∠ADC=45°
∴∠D'DC=90°，
∴CD'===6，
∴BD=6
故选：A．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了_____度．
【答案】270
【解析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，再求45分钟分针旋转的度数．
解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60=6°，
那么45分钟，分针旋转了45×6°=270°．
故答案为：270．
10．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB=_____．
【答案】135°
【解析】将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，构造两个直角三角形：Rt△PBE和Rt△PCE，利用勾股定理逆定理解答即可．
解：将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，
∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，
∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠BEP=45°，
∵PB=2，
∴PE=2，
∵PC=3，CE=PA=1，
∴PC2=PE2+CE2，
∴∠PEC=90°，
∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．
11．如图，如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有_____个．
【答案】3
【解析】根据旋转的性质，把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，分析对应点的不同情况，易得答案．
解：根据图形间的关系，分析可得如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，
那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点有C、D，以及线段CD的中点共三个．
故答案为3．
12．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为_____．
【答案】2-2
【解析】根据旋转性质及旋转过程可知根据旋转过程可知：∠CAD=30°=∠CAB，AC=AD=4．从而得到∠BCD=150°，∠DCE=30°，∠E=45°．过点C作CH⊥AE于H点，
在Rt△ACH中，CH和AH长，在Rt△CHE中可求EH长，利用DE=EH-HD即可求解．
解：根据旋转过程可知：∠CAD=30°=∠CAB，AC=AD=4．
∴∠BCA=∠ACD=∠ADC=75°．
∴∠ECD=180°-2×75°=30°．
∴∠E=75°-30°=45°．
过点C作CH⊥AE于H点，
在Rt△ACH中，CH=AC=2，AH=2．
∴HD=AD-AH=4-2．
在Rt△CHE中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=2．
∴DE=EH-HD=2-（4-2）=2-2．
故答案为2-2．
13．如图，等腰△ABC中，∠BAC=150°，D是AB上一点，AD=1，BD=4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为_____．
【答案】1+4
【解析】如图，延长BA到T，使得DT=BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．证明△TDF≌△BED（SAS），推出BD=TF=4，∠DTF=∠B=15°，TM=FM=2，再利用直角三角形30度角的性质求出AT即可解决问题．
解：如图，延长BA到T，使得DT=BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．
∵AB=AC，∠BAC=150°，
∴∠B=∠ACB=15°，
∵∠TDE=∠B+∠DEB=∠TDF+∠EDF，∠EDF=∠B=15°，
∴∠TDF=∠BED，
∵DT=EB，DF=DE，
∴△TDF≌△BED（SAS），
∴BD=TF=4，∠DTF=∠B=15°，
∵∠TFC=∠TAF+∠ATF=45°，TM⊥FM，
∴TM=FM=2，
在Rt△ATM中，∵∠TAM=30°，
∴AT=2TM=4，
∴BE=DT=AD+AT=1+4，
故答案为1+4．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案．
（1）请用平移、旋转、轴对称分析各图案的形成过程？
（2）哪几个图案可以经过平移得到？哪几个图案可以经过旋转得到？哪几个图案可以经过轴对称得到？
答：
【解析】要根据旋转、轴对称和平移的定义来分析．
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动；
轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．
解：（1）①旋转180°得到，②旋转180°③④⑤⑥⑧经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合，⑦旋转90°后再平移，⑨用一个图形旋转
一定角度得到；
（2）图案⑦可以经过旋转再平移，得到图案①②⑨可以经过旋转得到，图案⑥⑤③④⑦⑧可以经过轴对称得到．
15．（8分）如图，已知AD=AE，AB=AC．
（1）求证：∠B=∠C；
（2）若∠A=50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
【解析】（1）要证明∠B=∠C，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABE≌△ACD；已知两边和它们的夹角对应相等，由SAS即可判定两三角形全等．
（2）因为△ABE≌△ACD，公共点A，对应线段CD与BE相交，所以要通过旋转，翻折两次完成．
（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD；
∴△AEB≌△ADC，
∴∠B=∠C．
（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．
或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．
16．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB′C′的位置，点B′恰好落在边BC的中点处，求旋转角的大小．
【解析】如图，证明AB′=BB′；证明AB′=A B，得到△ABB′是等边三角形，故∠BAB′=60°．
解：如图，∵在Rt△ABC中，点B′为BC的中点，
∴AB′=BB′；
又由旋转的性质可得，AB′=A B，
∴AB′=AB=BB′，△ABB′是等边三角形，
∴旋转角∠BAB′=60°．
17．（9分）一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒．
（1）当t=_____秒时，DE∥AB；当t=_____秒时，DE⊥AB；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值；
（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，连接AE，设∠BAE=x°，∠AED=y°，∠DFB=z°，试问x+y+z是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)3;(2)21;
【解析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间；
（2）画出图形，分类讨论，①∠PAF=∠PFA；②∠PAF=∠APF；③∠PFA=∠APF，求出旋转角，再求出t值；
（3）找出与∠BAE，∠AED，∠DFB，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论．
解：（1）如图（1），当DE∥AB时，∠EDF=∠BPF=45°
∵AF平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAF=30°，
又∵∠BPF为△APF的一个外角，
∴∠PFA=∠BPF-∠BAF=45°-30°=15°，
∴t==3；
如图（2），当DE⊥AB时，
∠DPB=180°-90°-45°=45°，
∴∠APF=∠DPB=45°，
∵∠BAF=30°，
∴∠AFP=180°-∠APF-∠BAF=180°-45°-30°=105°，
∴t==21．
故答案为：3；21．
（2）①如图（3），当∠PAF=∠PFA时，
∵∠PAF=30°，
∴∠PFA=30°，
∴t=6；
②如图（4），当∠PFA=∠APF时，
∵∠PAF=30°，∠PAF+∠PFA+∠APF=180°，
∴∠AFP=（180°-30°）=75°，
∴t=15；
③如图（5），当∠PAF=∠APF时，
∠AFP=180°-∠PAF-∠APF=180°-30°-30°=120°，
∴t=24，
综上所述：当t为6或15或24时，△AFP有两个内角相等．
（3）x+y+z是为定值105，理由如下：
∵∠BMN是△AME的一个外角，∠MNB是△DFN的一个外角，
∴∠BMN=∠BAE+∠AED=x°+y°，∠MNB=∠DFB+∠D=z°+45°，
又∵∠BMN+∠MNB+∠B=180°，∠B=30°，
∴x°+y°+z°+45°+30°=180°，
∴x°+y°+z°=105°，
∴x+y+z=105．
18．（9分）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP、BP．
（1）求证：BP=MN；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，试证明BM=MC．
【解析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，然后即可证得结论；
（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，即可得解．
解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，
∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM=MN，
∴BP=MN；
（2）解：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABM=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴，
∴，
∴BM=MC．
19．（8分）如图所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和线段AD的长．
【解析】根据∠BAC+∠BDC=180°得出A、B、D、C四点共圆，根据四点共圆的性质得出∠BAD=∠BCD=60°．推出A，C，E共线；由于∠ADE=60°，根据旋转得出AB=CE=3，求出AE即可．
解：法1：∵△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ACD+∠ABD=180°，
又∵∠ABD=∠ECD，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴∠ACE=180°，
即A、C、E共线，
∵把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，AB=3，
∴AB=CE=3，
∴AD=AE=AC+AB=3+2=5；
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