九年级数学上点拨与精练 第23章旋转 23.2.1中心对称（含解析）

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九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.2.1 中心对称
学习目标：
1）理解中心对称的概念及性质。
2）熟练画出已知图形关于某一点的成中心对称的图形。
学习重点： 理解中心对称的概念及性质。
学习难点： 画出已知图形关于某一点的成中心对称的图形。
老师告诉你
中心对称的三个对应：
对应边相等；（2）对应边平行或在一条直线上；（3）对应角相等。
判断中心对称的两个方法：
连接两个图形的对应点的线段是否经过同一点，并且被该点平分。
把其中一个图形绕着某一个点旋转180°后是否能与另一个图形重合。
一、知识点拨
知识点1 中心对称
把一个图形绕某一个点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
1）这个点叫做对称中心.
2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
中心对称与旋转、轴对称的区别联系
（1）旋转和中心对称的联系与区别
轴对称和中心对称的联系与区别
【新知导学】
例1-1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
【对应导练】
1．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（　　）
A. B.
C. D.
2 .如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
3.下列关于中心对称的描述不正确的是（ ）
A．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称
B．关于中心对称的两个图形是全等的
C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心
D．如果两个图形关于点O对称，点A与是对称点，那么
知识点2 中心对称的性质
1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分.
2)中心对称的两个图形是全等形.
【新知导学】
例2-1．如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（　　）
A. ∠ABC=∠A'B'C' B. ∠BOC=∠B'A'C'
C. AB=A'B' D. OA=OA'
【对应导练】
1．如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC=2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　）
A. 4 B.
C. D.
2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=2，BD=8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接A′B'，则AB'的长是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
3．如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GH=BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（　　）
A. B.
C. D.
4．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称．下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有_____（只填序号）
知识点3 画已知图形关于某一点的成中心对称的图形
作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.
【新知导学】
例3-1．如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．
【对应导练】
1．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长．
2．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，BC=2cm,如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B'处，求BB'的长度．
3．如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
二、题型训练
1.中心对称的性质在三角形中的应用
1．如图，△ABC中，BC=2AB，D、E分别是边BC、AC的中点，将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB=3，AD+BF=8，求四边形ABDF的面积S．
2．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长．
3．如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：
（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？
（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？
2.中心对称的性质在作图中的应用
4．如图是8×8的正方形网格，请在网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-2，4），点B的坐标为（-4，2）；
（2）在第二象限内的格点上取一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点C的坐标和△ABC的周长；
（3）画出△ABC以点C为旋转中心旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA′B′是哪种特殊四边形，并说明理由．
5．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
（1）请你找到对称中心O的位置；
（2）连接线段BC′和线段B′C，试判断四边形BC′B′C的形状，并说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积？
课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为（a,b），则点A′的坐标为（　　）
A. （-a,-b） B. （a,-b） C. （-a,b） D. （a,b）
2．电动伸缩门是依据平行四边形的（　　）
A. 中心对称性 B. 轴对称性
C. 稳定性 D. 不稳定性
3．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）
A. OB=OB' B. ∠ACB=∠A'B'C'
C. 点A的对称点是点A' D. BC∥B'C'
4．如图矩形的长为10，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（　　）
A. 20 B. 15 C. 10 D. 25
5．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（　　）
A. 3+ B. 2+2
C. 2+ D. 1+2
如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（-1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（-3，-2），则
点A'的坐标是（　　）
A. （1，3） B. （1，2） C. （3，2） D. （2，3）
7．如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，且AB＞AD．点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF的形状不可能是（　　）
A. 平行四边形 B. 正方形
C. 矩形 D. 菱形
8．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（　　）
A. 点G B. 点H C. 点M D. 点N
二、填空题(共5题。每小题4分，共20分)
9．如图，△AOB与△COD关于公共顶点O成中心对称，连接AD、BC，添加一个条件 _____，使四边形ABCD成为菱形．
10．点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE，则∠BAE的度数为 _____．
11．将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则2022个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_____．
12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 _____．
13．如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，AB=3，BC=6．将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点A'和C'分别落在边AD和BC上时，BC'=1，则A'C'的长是 _____，两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是 _____．
三、解答题(共6题，每小题8分，共48分)
14．如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
（1）请画出ABC关于原点对称A1B1C1；
（2）请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的A2B2C2，并写出A2的坐标．
15．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标．
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
16．有一个腰长为c m,底边长为2cm的等腰三角形纸片，如图，小明沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，请用这两个直角三角形纸片拼一个成中心对称的四边形，画出所有可能的示意图（标注好各边长），并在图形下方直接写出该四边形的周长．
17．如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC=1，AB=2，∠BAC=90°，求AE的长．
18．如图，已知四边形ABCD是中心对称图形，E、F是对角线BD上的两点，且DE=BF，求证：
（1）△ADE≌△CBF；
（2）AE∥CF．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
九年级数学上点拨与精练
第23章 旋转
23.2.1 中心对称（解析版）
学习目标：
1）理解中心对称的概念及性质。
2）熟练画出已知图形关于某一点的成中心对称的图形。
学习重点： 理解中心对称的概念及性质。
学习难点： 画出已知图形关于某一点的成中心对称的图形。
老师告诉你
中心对称的三个对应：
对应边相等；（2）对应边平行或在一条直线上；（3）对应角相等。
判断中心对称的两个方法：
连接两个图形的对应点的线段是否经过同一点，并且被该点平分。
把其中一个图形绕着某一个点旋转180°后是否能与另一个图形重合。
一、知识点拨
知识点1 中心对称
把一个图形绕某一个点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
1）这个点叫做对称中心.
2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
中心对称与旋转、轴对称的区别联系
（1）旋转和中心对称的联系与区别
轴对称和中心对称的联系与区别
【新知导学】
例1-1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
【答案】C
【解析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可．
解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．
故选：C．
【对应导练】
1．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断．
解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'B'C'关于（-，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；
故选：D．
2 .如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
【分析】根据中心对称的性质判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与A′是一组对称点，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，
∴A，B，C都不合题意．
∵∠ACB与∠C′A′B′不是对应角，
∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键
3.下列关于中心对称的描述不正确的是（ ）
A．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称
B．关于中心对称的两个图形是全等的
C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心
D．如果两个图形关于点O对称，点A与是对称点，那么
【详解】解：A．一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故选项错误，符合题意；
B．关于中心对称的两个图形是全等的，故选项正确，不符合题意；
C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故选项正确，不符合题意；
D．根据中心对称的性质可得此说法正确，故选项正确，不符合题意．
故选：A．
知识点2 中心对称的性质
1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分.
2)中心对称的两个图形是全等形.
【新知导学】
例2-1．如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（　　）
A. ∠ABC=∠A'B'C' B. ∠BOC=∠B'A'C'
C. AB=A'B' D. OA=OA'
【答案】B
【解析】利用中心对称的性质解决问题即可．
解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA′，
故A，C，D正确，
故选：B．
【对应导练】
1．如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC=2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　）
A. 4 B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ，AO=CO=AC=1，根据△PQC与△BOC关于点C中心对称，可得CQ=CO=1，∠Q=90°，PQ=BO==，再根据勾股定理可得AP的长．
解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，
∴AO=CO=1，BO⊥AC，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ=CO=1，∠Q=∠BOC=90°，PQ=BO=，
∴AQ=AO+CO+CQ=3，
∴AP===2．
故选：D．
2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=2，BD=8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接A′B'，则AB'的长是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OC=AC=1，OB=BD=4，由中心对称的性质得到∠O′=∠BOC=90°，CO′=OC=1，O′B′=OB=4，求出AO′=AC+O′C=3，由勾股定理得到AB′==5．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=AC，OB=BD，
∵AC=2，BD=8，
∴OC=1，OB=4，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠O′=∠BOC=90°，CO′=OC=1，O′B′=OB=4，
∴AO′=AC+O′C=3，
∴AB′==5．
故选：C．
3．如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GH=BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s.求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．
解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s.
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S△AOB=S△BOC=S平行四边形ABCD=s,
∵EF=AB，GH=BC，
∴S1=s,S2=s,
∴==，
故选：B．
4．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称．下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有_____（只填序号）
【答案】①②③④
【解析】根据中心对称的图形的性质即可判断．
解：中心对称的两个图形全等，所以∠BAC=∠B1A1C1，AC=A1C1，△ABC与△A1B1C1，
则①②④正确；
对称点到对称中心的距离相等，故③正确；
故答案为①②③④．
知识点3 画已知图形关于某一点的成中心对称的图形
作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.
【新知导学】
例3-1．如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．
【解析】连接BB′，CC′交于点O，点O即为对称中心，作出点A关于点O的对称点A′即可解决问题；
解：如图，△A′B′C′即为所求；
【对应导练】
1．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长．
【解析】（1）连接AD，CF，其交点就是对称中心O；
（2）依据△ABC和△DEF关于点O成中心对称，即可得到△ABC≌△DEF，进而得出△DEF的周长．
解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE=6，AC=DF=5，BC=EF=4，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=6+5+4=15；
答：△DEF的周长为15．
2．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，BC=2cm,如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B'处，求BB'的长度．
【解析】在Rt△OBC中利用勾股定理即可求得OB的长度，BB′=2OB，据此即可求解．
解：如图在直角△OBC中，OC=AC=BC=1cm,则OB=
则BB′=2OB=2cm.
3．如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
【解析】根据中心对称的概念及平行四边形的性质可得P为四边形的对角线的交点，由此作图即可．
解：如答图所示．
作法：①连接AP并延长至C，使PC=PA．
②连接BP并延长至D，使PD=PB．
③连接BC、CD、DA．
四边形ABCD即为所求．
二、题型训练
1.中心对称的性质在三角形中的应用
1．如图，△ABC中，BC=2AB，D、E分别是边BC、AC的中点，将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB=3，AD+BF=8，求四边形ABDF的面积S．
【解析】（1）根据中位线的性质以及旋转后对应的线段，可得出四边形ABDF对应边两两相等，即为平行四边形，平行四边形的邻边相等为菱形；
（2）设OA=x,OB=y,构造方程求出2xy即可．
解：（1）平行四边形，证明如下：
∵D、E分别是边BC、AC的中点，
∴2DE=AB，CD=BD，
又∵将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE，
∴CD=AF，DE=EF，
∴2DE=AB=FD，BD=CD=AF，
∴四边形ABDF对应边两两相等，
即四边形ABDF为平行四边形，
又∵BC=2AB，
∴AB=BD，
∴平行四边形ABDF为菱形；
（2）如图，连接BF，AD交于点O，
∵四边形ABDF为菱形，
∴AD⊥BF，OB=OF，AO=OD，
设OA=x,OB=y,
则有2x+2y=8，x2+y2=32，
∴x+y=4，
∴x2+2xy+y2=16，
∴2xy=7，
∴S=BF×AD=2xy=7．
2．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长．
【解析】（1）连接AD，CF，其交点就是对称中心O；
（2）依据△ABC和△DEF关于点O成中心对称，即可得到△ABC≌△DEF，进而得出△DEF的周长．
解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE=6，AC=DF=5，BC=EF=4，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=6+5+4=15；
答：△DEF的周长为15．
3．如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：
（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？
（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？
【解析】（1）根据旋转变换的定义判断即可．
（2）根据旋转变换的性质解决问题即可
解：（1）△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF．这里是旋转变换．
（2）BE=DF．理由：
因为△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 后得到△ADF，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，所以 BE=DF．
2.中心对称的性质在作图中的应用
4．如图是8×8的正方形网格，请在网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-2，4），点B的坐标为（-4，2）；
（2）在第二象限内的格点上取一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点C的坐标和△ABC的周长；
（3）画出△ABC以点C为旋转中心旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA′B′是哪种特殊四边形，并说明理由．
【解析】（1）根据中心对特点称建立坐标系；（2）点C在线段AB的垂直平分线上．△ABC与△A′B′C′关于点C对称，旋转后BC的对应边是B′C；（3）利用矩形判定：一组对边相等的平行四边形是矩形找到思路．
解：（1）平面直角坐标系如下：
（2）∵需求作的△ABC是以AB边为底边的等腰三角形，
∴在第二象限，AB垂直平分线上的格点与A、B相连接，均能得到等腰三角形，找一点C，如图．
∵小正方形的边长为1，
∴AC=，
同理可得BC=，AB=．
∴C点的坐标为（-1，1）．
∵BC=，AC=，AB=，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=++=2+2．
（3）四边形ABA′B′是矩形．理由如下：
由旋转180°可知，BC=CB′，AC=CA′，
∴四边形ABA′B′是平行四边形，
又∵AA′=BB′，
∴四边形ABA′B′是矩形．
5．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
（1）请你找到对称中心O的位置；
（2）连接线段BC′和线段B′C，试判断四边形BC′B′C的形状，并说明理由．
【解析】（1）关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可找到点O；
（2）由中心对称的性质得到OC=OC′，OB=OB′，即可证明四边形BC′B′C是平行四边形．
解：（1）连接CC′，BB′交于O，
∴点O即为对称中心的位置；
（2）四边形BC′B′C是平行四边形，理由如下：
∵△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，
∴OC=OC′，OB=OB′，
∴四边形BC′B′C是平行四边形．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积？
【解析】（1）作出△ABC各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
（2）利用面积差即可求得答案．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
A1（-1，-4），B1（-4，-2），C1（-3，-5）；
（2）根据中心对称的性质可得=3×3-=9--1-3=．
课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为（a,b），则点A′的坐标为（　　）
A. （-a,-b） B. （a,-b） C. （-a,b） D. （a,b）
【答案】A
【解析】根据中心对称的性质解决问题即可．
解：∵将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，
∴A与A′关于原点对称，
∵点A的坐标为（a,b），
∴点A′的坐标为（-a,-b），
故选：A．
2．电动伸缩门是依据平行四边形的（　　）
A. 中心对称性 B. 轴对称性
C. 稳定性 D. 不稳定性
【答案】D
【解析】根据平行四边形的不稳定性即可判断．
解：平行四边形具有不稳定性，
故选：D．
3．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）
A. OB=OB' B. ∠ACB=∠A'B'C'
C. 点A的对称点是点A' D. BC∥B'C'
【答案】B
【解析】根据中心对称的性质解决问题即可．
解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，
∴OB=OB'，∠ACB=∠A'C'B'，点A的对称点是点A'，BC∥B'C'，
故A，C，D正确，
故选：B．
4．如图矩形的长为10，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（　　）
A. 20 B. 15 C. 10 D. 25
【答案】A
【解析】在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，由可求得结果．
解：在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，
∴，
故选：A．
5．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（　　）
A. 3+ B. 2+2
C. 2+ D. 1+2
【答案】A
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（-1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（-3，-2），则点A'的坐标是（　　）
A. （1，3） B. （1，2） C. （3，2） D. （2，3）
【答案】B
【解析】根据点D是线段AA′的中点以及中点坐标公式解答．
解：设点A'的坐标是（a,b），
根据题意知：=-1，=0．
解得a=1，b=2．
即点A'的坐标是（1，2），
故选：B．
7．如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，且AB＞AD．点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF的形状不可能是（　　）
A. 平行四边形 B. 正方形
C. 矩形 D. 菱形
【答案】B
【解析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况，由此可得结论．
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，
故选：B．
8．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（　　）
A. 点G B. 点H C. 点M D. 点N
【答案】C
【解析】A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是2×3的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是1×2的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M．
解：AD、CF、BE相交于点M，
∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，
故选：C．
二、填空题(共5题。每小题4分，共20分)
9．如图，△AOB与△COD关于公共顶点O成中心对称，连接AD、BC，添加一个条件 _____，使四边形ABCD成为菱形．
【答案】∠AOB=90°
【解析】根据△AOB与△COD关于公共顶点O成中心对称，可证明四边形ABCD是平行四边形，即添加∠AOB=90°即可．
解：∠AOB=90°（答案不唯一），
∵△AOB与△COD关于公共顶点O成中心对称，
∴点A、O、C在一条直线上，点B、O、D在一条直线上，且AO=OC，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB=90°，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：∠AOB=90°．
10．点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE，则∠BAE的度数为 _____．
【答案】62°
【解析】连接BE，根据中心对称图形的定义得出点E是菱形ABCD的两对角线的交点，根据菱形的性质得出AE⊥BE，∠ABE=∠ABC=28°，那么∠BAE=90°-∠ABE=62°．
解：如图，连接BE，
∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC=56°，
∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点，
∴AE⊥BE，∠ABE=∠ABC=28°，
∴∠BAE=90°-∠ABE=62°．
故答案为：62°．
11．将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则2022个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_____．
【答案】2021
【解析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）阴影部分的和．
解：作A1E⊥A2G于E，A1F⊥A2H于F．则∠FA1E=∠HA1G=90°，
∴∠FA1H=∠GA1E，
在△A1HF和△A1GE中，
，
∴△A1HF≌△A1GE（ASA），
∴四边形A2HA1G的面积=四边形A1EA2F的面积=×4=1，
同理，各个重合部分的面积都是1，
则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1×（n-1）=n-1
∴2022个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2022-1=2021．
故答案为：2021．
12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】12
【解析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案为：12．
13．如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，AB=3，BC=6．将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点A'和C'分别落在边AD和BC上时，BC'=1，则A'C'的长是 _____，两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是 _____．
【答案】(1);(2);
【解析】由中心对称的性质得到OA=OC=OA′=OC′，推出四边形AC′CA′是矩形，由勾股定理即可求出AC长；由平行四边形的面积得到AC′=HA′，由勾股定理即可求出NA′的长，从而求出阴影的面积．
解：作A′H⊥B′C′于H，连接AC′，A′C，
由题意得：OA=OC=OA′=OC′，
∴四边形AC′CA′是矩形，
∴AC′⊥BC，
∵AB=3，BC′=1，
∴AC′2=AB2-BC′2=8，
∴AC′=2，
∵CC′=BC-BC′=6-1=5，
∴AC==，
∴A′C′=AC=；
∵两张平行四边形纸片全等，
∴AC′=A′H，
∵平行四边形NC′MA′的面积=NA′ AC′=NC′ A′H，
∴NC′=NA′，
设NA′=x,则AN=5-x,
∵NC′2=AN2+AC′2，
∴x2=（5-x）2+8，
∴x=，
∴NA′=，
∴阴影的面积=NA′ AC′=×2=．
故答案为：，．
三、解答题(共6题，每小题8分，共48分)
14．如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
（1）请画出ABC关于原点对称A1B1C1；
（2）请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的A2B2C2，并写出A2的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，A2(﹣2，2)
【解析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，再连接即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
【小问1详解】
解：如图，△；即为所求；
【小问2详解】
解：如上图，△即为所求，的坐标．
【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
15．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标．
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
【解析】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可．
（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．
解：（1）根据对称中心的性质，可得
对称中心的坐标是D1D的中点，
∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），
∴对称中心的坐标是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4-2=2，
∴B，C的坐标分别是（-2，4），（-2，2），
∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），
∴A1的坐标是（0，1），
∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），
综上，可得
顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（-2，4），（-2，2），（2，1），（2，3）．
16．有一个腰长为c m,底边长为2cm的等腰三角形纸片，如图，小明沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，请用这两个直角三角形纸片拼一个成中心对称的四边形，画出所有可能的示意图（标注好各边长），并在图形下方直接写出该四边形的周长．
【解析】两个直角三角形纸片拼一个成中心对称的四边形，分三种情况：BD作为公共边，AD作为公共边，AC作为公共边．
解：如图所示：
17．如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC=1，AB=2，∠BAC=90°，求AE的长．
【解析】根据△ABC与△DEC关于C点成中心对称，可得△ABC≌△DEC，即可得∠CAB=∠CDE=90°，AB=DE=2，AC=DC=1，进而有AD=2，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解．
解：∵△ABC与△DEC关于C点成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB=DE，AC=DC，∠CAB=∠CDE，
∵AC=1，AB=2，∠BAC=90°，
∴∠CAB=∠CDE=90°，AB=DE=2，AC=DC=1，
∴AD=2，
∴在Rt△ADE中，有：．
即．
18．如图，已知四边形ABCD是中心对称图形，E、F是对角线BD上的两点，且DE=BF，求证：
（1）△ADE≌△CBF；
（2）AE∥CF．
【解析】（1）根据中心对称的性质可得AD=BC，∠ADE=∠CBF，然后利用“边角边”证明△ADE和△CBF全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠CFB，再根据等角的补角相等求出∠AEF=∠CFE，然后根据内错角相等，两直线平行证明．
证明：（1）∵四边形ABCD是中心对称图形，
∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED=∠CFB，
∴180°-∠AED=180°-∠CFB，
即∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
【解析】（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2；
（3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四边形ABDE为矩形．
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