9.5 三角形的中位线　导学案（无答案）　苏科版数学八年级下册

第三讲 中位线及中心对称复习
教学目标：
理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；
运用三角形中位线与第三边的位置关系、数量关系解决问题；
理解并掌握三角形中位线定理的拓展结论。
中心对称章末复习回顾
知识梳理：
（思维导图）
知识要点：
要点一、三角形的中位线
1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
特别说明：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点二、中点三角形
定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形.
性质：
（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等
（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。
（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。
补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
要点三、中点四边形
定义：依次连接任意各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。
性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是。
要点四、四边形的联系
例题精讲：
题型1：三角形中位线定理的认识与理解
例1（☆）：在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
变式1-1（☆☆）：如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
变式1-2（☆☆）：在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______．
变式1-3（☆☆☆）（1）回顾定理：如图1，在中，是的中位线．那么与的关系有___________．
（2）运用定理：如图2，在四边形中，，，点F为的中点，点E为的中点．若，，求的长．
题型2：三角形中位线定理的应用
例2（☆）：如图，的面积是，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是________
变式2-1（☆☆）：如图，已知四边形中，，点E、F分别是边的中点，连接，则的长是（　　）
B．5 C． D．10
变式2-2（☆☆）：如图，在中，，动点在边上从点A开始向终点运动，则线段的中点从开始到停止所经过的路线长为______cm．
变式2-3（☆☆☆）如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点P，Q分别是，的中点，的值不可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
题型3：中点四边形的理解与应用
例3（☆）：若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是( )
A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
变式3-1（☆☆）：如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ）
A．只与、的长有关 B．只与、的长有关
C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关.
变式3-2（☆☆☆）：（宋体 小四）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．则下列说法：
①若，则四边形为矩形；
②若，则四边形为菱形；
③若四边形是平行四边形，则与互相平分；
④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型4：特殊四边形的性质及应用
例4（☆）：如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______．
变式4-1（☆☆）：如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且．若点P在对角线BD上移动，则的最小值是 _________ ．
变式4-2（☆☆）：如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
变式4-3（☆☆☆）：点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，连接 CE，DF 交于点 P．
(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．
(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为 ．
题型5：特殊四边形的判定
例5（☆）：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
(1)求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
(2)过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
变式5-1（☆☆）：如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．
变式5-2（☆☆）：如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．
变式5-3（☆☆☆）：四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
强化练习：
1、（☆☆）下列命题是假命题的是（ ）
A．顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形 B．四个角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2、（☆）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长是（ ）
A．15 B．11 C．10 D．9
3、（☆☆）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ 　）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
4、（☆☆）如图，点、点分别是的边、的中点，的平分线交于点，，，则的长为__________．
5、（☆☆）如图，三边的中线，，的公共点为G，且，若，则图中阴影部分的面积是_____．
6、（☆☆☆）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ．
7、（☆☆）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，于点，点为上一点，连接，，且．
求证：四边形为矩形；
若，，，则___________．
8、（☆☆☆）如图1所示：在中，点D、E分别是AB，AC的中点，
(1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________．
(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证：；
(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你的猜想．
9、（☆☆☆）已知：△ABC，AD为BC边上的中线，点M为AD上一动点（不与点A重合），过点M作ME∥AB，过点C作CE∥AD，连接AE．
如图1，当点M与点D重合时，求证：①△ABM≌△EMC；②四边形ABME是平行四边形
如图2，当点M不与点D重合时，试判断四边形ABME还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
如图3，延长BM交AC于点N，若点M为AD的中点，求的值．
10、（☆☆☆）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足．平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC，AB．
(1)填空： ， ，点B的坐标为 ；
(2)点D，E分别是OA，AB边上的动点，连接DC，DE，M，N分别为DC，DE的中点，连接MN．当D，E分别在OA，AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF．P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中．试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
11、（☆☆☆）已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是180°，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D＝180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．
初步思考
（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E为△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC为等边三角形．
①点A与点______关于BC互为顶针点：
②求证：点D与点A关于BC互为勾股顶针点．
实践操作
（2）在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．
①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．（不写作法，保留作图痕迹）
思维探究
②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F，求在点E运动过程中，当线段BE与线段AF的长度相等时AE的长．
课后作业：
1、（☆）（邗江区期中）如图，平行四边形ABCD的周长为28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为(　　)
A. 28 B. 12 C. 13 D. 17
2、（☆☆）（江都期中）如图，菱形中，，对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若菱形的面积为，则的长为（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
3、（☆☆）（梅苑期中）如图，ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）
A. 2 B. 3 C. D. 4
4、（☆☆）（江都区期中）如图，在中，D是上一点，，垂足为点E，F是的中点，若，则EF的长为__________．
5、（☆☆）（邗江区期末）如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___．
6、（☆）（邗江区期中）四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件_____．
7、（☆☆）（梅岭期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为____．
8、（☆☆）（高邮期中）如图，在矩形ABCD中，BE平分，交CD于点E，点M、N分别是BE、AB的中点，连接MN，若，，则CD的长为______________．
9、（☆☆☆）（梅苑期中）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，，分别为线段，的中点．若线段的长为8，则的长为______．
10、（☆）（树人期中）如图，的对角线相交于点，直线EF过点O分别交BC，AD于点E、F，G、H分别为OB、OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形．
11、（☆☆）（梅岭期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
四边形ABCD 菱形 矩形 正方形
平行四边形EFGH
12、（☆☆☆）（邗江区期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．我们称四边形0EMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．
（1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是　 　，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：　 　（在横线上填特殊平行四边形的名称）
（2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由．
13、（☆☆☆）（高邮期末）已知点E、F分别在矩形纸片ABCD的边BC、AD上，连接EF，将矩形纸片ABCD沿EF折叠．
（1）如图1，若点C恰好落在点A处，EF与AC相交于点O，连接AE、CF．
①判断四边形AECF的形状，并证明你的结论；
②若，，求折痕EF的长；
（2）如图2，若点B恰好落在边CD上的点处，且，点A落在处，交AD于点G．
①求证：；
②若，，求CE的长．
14、（☆☆☆）（广陵区期中）【方法回顾】
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝2.5，BE＝1，则EF＝　 　．
【问题解决】
（2）如图2，菱形ABCD的边长为1.5，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长．
【思维拓展】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m（m＞0），则PB2﹣PD2的值为　 　．（用含m的式子表示）