(共21张PPT)
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题
1、理解坡度、坡角、方位角等概念，会应用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角、方位角有关的问题；
2、进一步培养分析、解决问题的能力，体会数形结合的思想．
图中的(1)和(2)，哪个山坡比较陡？
观察
(2)中的山坡比较陡.
（1）
（2）
动脑筋
如何用数量来反映哪个山坡陡呢？
（1）
（2）
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N 时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即
坡度通常写成 1 : m 的形式．
如图中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).
显然，坡度等于坡角的正切.
坡度越大，山坡越陡.
举
例
例1 如图，一山坡的坡度 i = 1:1.8，小刚从山坡脚下点P上坡走了24m到达点N，他上升了多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多少度(精确到1′)？
解:
用 表示坡角的大小，由于
因此
在直角三角形PMN中，
PN=240m.
由于NM是∠P的对边，PN是斜边，
因此
从而
答：小刚上升了约116.5m，这座山坡的坡角约等于
答：路基底宽为30.0m，
坡角
如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽(即等腰梯形的上底长)为10.2m，路基的坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为6.2m.求路基的底宽(精确到0.1m)和坡角α(精确到1′).
例2 如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60 ，航行24海里到C，见岛A在北偏西30 ，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
C
B
A
N1
N
D
举
例
答：货轮无触礁危险.
∵ ∠NBA=60 ， ∠N1CA=30 ，
∴ ∠ABC=30 ， ∠ACD=60 .
在Rt△ADC中，CD=AD tan30=
在Rt△ADB中，BD=AD tan60 =
∵ BD-CD=BC,BC=24,
解析：过点A作AD⊥BC于D,设AD=x.
∴
∴ x= ≈12×1.732 =20.784 > 20.
光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知 ）
北
北
A
B
C
60°
45°
解析：过C作CD⊥AB于D点，
由题意可知AB=50×20=1000m，
∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD=CD/tan30°，BC=CD/tan45°，
∵AD+BD= CD/tan30°+ CD/tan45°=1000，
1．如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是 海里（不作近似计算）.
2.如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点. 如果MC=n,∠CMN=α.
那么P点与B点的距离为________________.
.
·
·
D
A
B
C
M
N
α
3.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 ．
90°
·
P
4.一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD．（单位是米，结果保留根号）
A
B
C
D
E
F
4
6
α
5.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
如图
解：∵斜坡AB的坡度i=1∶3，BE=23m.
∵斜坡CD的坡度i=1∶2.5，CF=23m.
由题意易得BC=EF=6m，
∴AD=AE+EF+FD=132.5（m）.
用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：
(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；
(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．(共16张PPT)
4.4 解直角三角形的应用
第1课时 与俯角、仰角有关的应用问题
1、了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题；
2、培养分析问题、解决问题的能力．
1.解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.两种情况：
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角.
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
解析：Rt△ABC中，α=30°，
AD=120，所以利用解直角三
角形的知识求出BD；类似地
可以求出CD，进而求出BC．
做一做
解析：如图，α=30°,β= 60°，AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高 (结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗
D′
A
B′
B
D
C′
C
例 题
D′
A
B′
B
D
C′
C
解析：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m.所以 ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设AB′=xm
如图，建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角是54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
解析：在等腰三角形BCD中，∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中
∴AC=tan∠ADC×DC
=tan54°×40≈1.38×40=55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
A
B
C
D
40m
54°
45°
1.如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶A的仰角为30°，45°，已知CD＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）
分析：设塔高为x米，根据条件∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x米，在直角三角形ABC中，根据∠C＝30°，即tanC＝
可求.
2.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）
解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；
（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝
故BE＝DEtan39°．
因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°≈116（米）
答：大楼的高度CD约为116米．
3.建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P处，利用自制测角仪测得正南方向商店A点的俯角为60°，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为30°（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）．
解析： 在Rt△POA中，PO=30，
∠OPA=90°-60°=30° ∴OA=OPtan∠OPA
在Rt△POB中，∠OPB=90°-30°=60° ∴OB=OPtan∠OPB
1．弄清俯角、仰角等概念的意义，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：
⑵ 找
⑶ 解
⑴ 建
