青岛版（六三制）数学八年级上册 5.1定义与命题 教案

定义与命题
【教学目标】
（一）教学知识点：
1．定义的意义。
2．命题的概念。
（二）能力训练要求：
1．从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性。
2．从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题。
（三）情感与价值观要求：
通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系。
【教学重难点】
命题的概念的理解。
【教学过程】
一、巧设现实情境，引入新课
［师］随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，上过网或懂电脑的同学都知道什么是“黑客”。下面我们来看一段对话（电脑演示）
小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》。
小亮说：……。
小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”。
小亮说：“……”。
小刚说：“……”。
小亮说：“哈！这个黑客终于被逮住了。”
……
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着。
一人说：“这黑客是个小偷吧？”
另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。”
……
一人说：“那因特网肯定是一张很大的网。”
另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网。”
……
（学生听后，大笑。）
［师］同学们为什么笑呢？
［生甲］旁边那两个人的概念不清。
［生乙］“黑客”、“因特网”等都是电脑中的专用名词。
……
［师］同学们说得都很好。由此可知：人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行。为此，我们需要给出它们的定义。
这节课我们就要研究：定义与命题。
二、讲授新课
［师］在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）。
如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义。
大家还能举出一些例子吗？
［生甲］“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
［生乙］“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义。
［生丙］“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义。
［生丁］“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义。
……
［师］同学们举出了这么多例子。说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定。
接下来，我们来做一做。（出示题目）
如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染。
如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染；
如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；
如果E处受到污染，那么__________处便受到污染；
……
如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流。
［生甲］如果B处工厂排放污水，那么a、b、c、d处便会受到污染。
［生乙］如果B处工厂排放污水，那么e、f、g处也会受到污染的。
［生丙］如果C处受到污染，那么a、b、c处便受到污染。
［生丁］如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的。
［生戊］如果E处受到污染，那么a、b处便会受到污染。
［生己］如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水。因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放。
……
［师］很好。同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染做出了判断。像这样，对事情做出判断的句子，就叫做命题。
即：命题是判断一件事情的句子。如：
熊猫没有翅膀。
对顶角相等。
大家能举出这样的例子吗？
［生甲］两直线平行，内错角相等。
［生乙］无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数。
［生丙］内错角相等。
［生丁］任意一个三角形都有一个直角。
［生戊］如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
［生己］全等三角形的对应角相等。
……
［师］很好。大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：
你喜欢数学吗？
作线段AB=a。
平行用符号“∥”表示。
这些句子没有对某一件事情做出任何判断，那么它们就不是命题。
一般情况下：疑问句不是命题。图形的作法不是命题。
接下来我们做练习来熟悉掌握命题的概念。
三、课时小结
本节课我们通过具体实例，说明了定义在生活中的重要性。在具体实例中，了解了命题的概念。
命题：判断一件事情的句子。
四、活动与探究
（一）现有正方形纸若干：假设正方形纸面积为1，你会折满足下列条件的正方形吗？
1．折面积为的正方形。
2．折面积为的正方形。
3．折面积为的正方形。
4．折面积为的正方形。
5．折面积为的正方形。
［过程］让学生在折纸过程中，体会数学的快乐、灵活，从而培养他们的动手、动脑能力。
［结果］
解：
1．折面积为的正方形。
方法：如图①
（1）将正方形两次对折，得到各边中点E、F、G、H。
（2）连HE、EF、FG和GH。
则正方形EFGH即为所求。
注：图②、③的方法可折得面积为、的正方形。
2．折面积为的正方形。
方法：如图④
（1）将正方形对折，得折痕EF。
（2）将BC折至BG，使G在EF上，得折痕BH，则以CH为边长的正方形即为所求。
证明：易知△GBC为正三角形，∠HBC=30°。
CH=BC
tan30°=，所以S正方形=CH2=。
3．折面积为的正方形。
方法：如图⑤
（1）将正方形两次对折，得各边中点E、F、G、H。
（2）以AF、HC．ED和BG为折痕，交点为O、P、Q、R。
则正方形OPQR即为所求。
证明：易证：AF=
又△ABF∽△APB
所以，即
则：AP=
OP=故：
S正方形=OP2=
4．折面积为的正方形。
方法：如图⑥
（1）先参照2。中折法，折出CE=
（2）取CE中点F，再折EG=EF。
（3）取BC中点M，折出MN⊥BG，N为折痕BG与MN的交点，则以BN为边长的正方形即为所求。
证明：∵EG=EF=FC=
∴CG=，BG=
由△BNM∽△BCG
得
即：
∴BN=
S正方形=BN2=
5．折面积为的正方形。
方法：如图⑦。
（1）将正方形对折，得折痕EF。
（2）以AC、BE为折痕，交点为P。
（3）过点P折出平行于AD的折痕MN。
则以AM为边长的正方形即为所求。
证明：由△PAE∽△PCB
得
所以AM=
S正方形=AM2=