湖南省衡阳县2015-2016学年高中物理上学期期末复习二 图像和追及相遇问题学案

期末复习学案二 图像和追及相遇问题
一、x-t图像的理解及意义
首先要学会识图．识图就是通过“看”寻找规律及解题的突破口．为方便记忆，这里总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”．
(1)“轴”：纵、横轴所表示的物理量，x－t图象纵轴是位移x。
(2)“线”：从线反映运动性质，x－t图象为倾斜直线表示匀速运动。
(3)“斜率”：“斜率”往往代表一个物理量．x－t图象斜率表示速度。
(4)“面”即“面积 ”：主要看纵、横轴物理量的乘积有无意义．x－t图象面积无意义。
(5)“截距”：初始条件、初始位置x0。
(6)“特殊值”： x－t图象交点表示相遇。
【例1】(2015安庆二中期末)A、B两质点从同一地点运动的x﹣t图象如图所示，下列说法中正确的是( )
A．A、B两质点在4s末速度相等
B．前4s内A、B之间距离先增大后减小，4s末两质点相遇
C．前4s内A、B之间距离先减小后增大，4s末两质点相遇
D．A质点一直做匀速运动，B质点先加速后减速，8s末回到出发点
针对训练 (2015黑龙江大庆铁人中学期末)聪聪同学讲了一个龟兔赛跑的故事，按照故事情节，明明同学画出了兔子和乌龟的位移图像如图所示。下列说法错误的是( )
A．故事中的兔子和乌龟是在同一地点同时出发的
B．乌龟做的是匀速直线运动
C．兔子和乌龟在比赛途中相遇两次
D．乌龟先通过预定位移到达终点
二、v-t图像的理解及意义
首先要学会识图．识图就是通过“看”寻找规律及解题的突破口．为方便记忆，这里总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”．
(1)“轴”：纵、横轴所表示的物理量，v－t图象纵轴是速度v。
(2)“线”：从线反映运动性质，v－t图象为倾斜直线表示匀变速运动。
(3)“斜率”：“斜率”往往代表一个物理量，v－t图象斜率表示加速度。
(4)“面”即“面积 ”：主要看纵、横轴物理量的乘积有无意义． v－t 图象与t轴所围面积表示位移。
(5)“截距”：初始条件、初速度v0.
(6)“特殊值”：如交点， v－t图象交点表示速度相等(不表示相遇)。
【例2】(2015云南玉溪一中期末)质点直线运动的图象如图所示，该质点( )
A．在2s末速度方向发生改变
B．在4s末加速度方向发生改变
C．在前4s内的位移为零
D．在前4s内的平均速度为1m/s
针对训练 (2015福州八中期末)小球从空中自由下落，与水平地面第一次相碰后又弹到空中某一高度，其速度v随时间t变化的关系如图所示。若g=10m/s2，则( )
A．小球第一次反弹后离开地面的速度大小为5m/s
B．小球反弹起的最大高度为0.45m
C．碰撞前后速度改变量的大小为2m/s
D．小球是从2.5m高处自由下落的
三、运动学规律在行车问题中的应用
对于汽车刹车这一类减速运动问题，一定要注意“时间陷阱”，因为在利用公式x＝v0t＋at2时，只要知道了v0、a、t，原则上是可以计算出位移的，但在实际问题中，告诉的时间往往超过减速到零所用的时间，所以利用上述公式时往往容易出错．
解答这类问题的基本思路是
1．先确定刹车时间．若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则由公式v＝v0－aT(其中v＝0)可计算出刹车时间T＝.
2．将题中所给出的已知时间t与T比较．若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t.
【例3】(2015安庆二中期末)汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶，急刹车时的加速度大小为5 m/s2，则自驾驶员急踩刹车开始，2 s与5 s时汽车的位移之比为( )
A．5∶4 B．4∶5 C．3∶4 D．4∶3
针对训练 (2015湖北武汉二中期末)酒后驾驶会导致许多安全隐患，其中之一是驾驶员的反应时间变长，“反应时间”是指驾驶员从发现情况到开始采取制动的时间．下表中“反应距离”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间内汽车行驶的距离；“刹车距离”是指驾驶员从踩下刹车踏板制动到汽车停止的时间内汽车行驶的距离．分析上表可知，下列说法正确的是( )
速度 反应距离 刹车距离
正常 酒后 正常 酒后
15 m/s 6 m 12 m 15 m 15 m
A．驾驶员正常情况下反应时间为1.0 s
B．驾驶员酒后反应时间比正常情况下多0.5 s
C．汽车刹车时，加速度大小为10 m/s2
D．汽车刹车时，加速度大小为7.5 m/s2
四、追击与相遇问题
1．追及相遇问题是一类常见的运动学问题，分析时，一定要抓住：
(1)位移关系：x2＝x0＋x1.
其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面物体的位移．
(2)临界状态：v1＝v2.
当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等临界、最值问题．
2．处理追及相遇问题的三种方法
(1)物理方法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解．
(2)数学方法：由于匀变速直线运动的位移表达式是时间t的一元二次方程，我们可利用判别式进行讨论：在追及问题的位移关系式中，若Δ>0，即有两个解，并且两个解都符合题意，说明相遇两次；Δ＝0，有一个解，说明刚好追上或相遇；Δ<0，无解，说明不能够追上或相遇．
(3)图象法：对于定性分析的问题，可利用图象法分析，避开繁杂的计算，快速求解．
【例4】 (2015黑龙江大庆铁人中学期末)如图所示，A、B两辆汽车在水平的高速公路上沿同一方向运动，汽车B以14m/s的速度做匀速运动，汽车A以a=10m/s2的加速度做匀加速运动，已知此时两辆汽车位置相距40m，且此时A的速度为4 m/s。
求：(1)从此之后再经历多长时间A追上B。
(2)A追上B时A的速度是多大？
针对训练(2015福建泉州一中期末)甲、乙两质点同时、同地点向同一方向作直线运动，它们的v－t图象如图所示，则( )
A．乙始终比甲运动得快
B．乙在2s末追上甲
C．乙追上甲时距出发点40m远
D．4s内乙的平均速度大于甲的速度
课时训练
1．(2015福建八县一中期末)a、b两物体从同一位置沿同一方向做直线运动,它们的速度图象如图所示, 下列说法正确的是( )
A．第20s时刻,a、b两物体相距最远
B．第60s时刻,物体a在物体b的前方
C．第40s时刻,a、b两物体速度相等,相距200 m
D．a、b加速时,物体a的加速度大于物体b的加速
2．(2015吉林期末)A、B两个物体从同一地点出发，在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度与时间图象如图所示，则( )
A．A、B两物体运动方向相反
B．t＝4 s时，A、B两物体处于同一位置
C．在相遇前，t＝4 s时A、B两物体相距最远
D．在相遇前，A、B两物体的最远距离为20 m
3．(2015哈尔滨六中期末)在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标，它们的位移x（m）随时间t（s）变化的规律为：汽车为，自行车为x=6t，则下列说法正确的是( )
A．汽车作匀减速直线运动，其加速度大小为m/s2
B．在t=8s时两车速度相等，自行车第一次追上了汽车
C．在t=0至t=16s时间内，两车间距离先减小后增大
D．当自行车追上汽车时，它们距路标96m
4．(2015云南玉溪一中期末)甲、乙两汽车在平直的公路上，s时从同一地点向同一方向行驶，0～6s内，它们的图象如图所示，甲图象是曲线，乙图象是直线；在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．甲、乙在6s时相遇
B．甲、乙在2s时，间距最大
C．0～6s内甲、乙平均速度相等
D．0～6s内甲的平均速度大于乙的平均速度
5．(2015沈阳二中期末)t=0时，甲乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v -t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B．在第2小时末，甲乙两车相距10km
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲乙两车相遇
6．(2015云南景洪三中期末)a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．b加速时，物体b的加速度大于物体a的加速度
B．20s时，a、b两物体相距最远
C．40s时，a、b两物体速度相等，相距900m
D．40s时，a、b两物体在同一位置
7．(2015福建八县一中期末)罗长高速公路最大限速为30m/s, —辆小车以25m/s的速度在该路段紧急刹车，滑行距离为62.5m（汽车刹车过程可认为做匀减速直线运动）
(1)求该小车刹车时加速度大小；
(2)若该小车以最大限速在该路段行驶，驾驶员的反应时间为0.4s，求该车的安全距离为多少？（安全距离即驾驶员从发现障碍物至停止，车运动的距离）
8．甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动．乙车落后2 s在同一地点由静止开始，以6 m/s2的加速度做匀加速直线运动．两车的运动方向相同．求：
(1)在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少？
(2)乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远？
9．甲、乙两车在同一条平直公路上运动，甲车以10 m/s的速度匀速行驶，经过车站A时关闭油门以4 m/s2的加速度匀减速前进，2 s后乙车与甲车同方向以1 m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速运动，问乙车出发后经过多少时间追上甲车？
10．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10m/s，B车在后，速度vB=30m/s，因大雾能见度很低，B车在距A车x0＝75m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能停下来．
（1）B车刹车时A仍按原速率行驶，两车是否会相撞？
（2）若B车在刹车的同时发出信号，A车司机经过△t＝4s收到信号后加速前进，则A车的加速度至少多大才能避免相撞？
答案精析
【例1】
【答案】B
【解析】由图可知，A、B两质点在4s末位移相等，选项A错误；由图可知，前4s内A、B之间距离先增大后减小，4s末位移相等两质点相遇，选项B正确，C错误；因为直线的斜率等于物体的速度，故A质点一直做匀速运动，B质点先减速后加速，8s末回到出发点，选项D错误；故选B.
针对训练
【答案】A
【解析】A、由图读出，兔子和乌龟是从同地不同时刻出发的，兔子在乌龟出发后t1时间出发，A错误；B、乌龟的x-t是直线，做的是匀速直线运动，B正确；C、在t2和t4两个时刻，兔子和乌龟位移相同，两者相遇，说明兔子和乌龟在比赛途中相遇过两次，C正确；D、由图看出，t6时刻乌龟到达终点，而兔子还没有到达终点，说明乌龟先通过预定位移到达终点，D正确；故选A。
【例2】
【答案】D
【解析】因为v-t线的斜率等于加速度，由图线可知，在2s末加速度方向发生改变，选项A错误；在4s末加速度方向没有发生改变，选项B错误；在前4s内的位移等于，选项C错误；在前4s内的平均速度为，选项D正确；故选D.
针对训练
【答案】B
【解析】由v-t图线可知，小球第一次反弹后离开地面的速度大小为3m/s，选项A错误；小球反弹起的最大高度为，选项B正确；碰撞前后速度改变量的大小为，即碰撞前后速度改变量的大小为8m/s，选项C错误；小球下落的高度：，选项D错误；故选B.
【例3】
【答案】C
【解析】汽车刹车后经过停止，故5 s时汽车的位移等于4s时的位移：，刹车2s时的位移：，故2 s与5 s时汽车的位移之比为3∶4，选项C正确。
针对训练
【答案】D
【解析】有题意知，汽车在驾驶员“反应时间”内做匀速直线运动，故“反应时间”t1=x1/v=6/15s=0.4s，而酒后汽车的反应距离增为12m，故反应时间变为0.8s，故A、B选项均错；由，解得 m/s2，故C选项错误，D选项正确。
【例4】
【答案】(1)4s；(2)44m/s
【解析】(1)A追上B时，A的位移比B多40米，则：vAt+at2=vBt+40m，t=4s，
(2)A追上B时A的速度vA=v0+at=44m/s
针对训练
【答案】C
【解析】根据v－t图象，甲以10m/s的速度做匀速直线运动 乙做初速度为零的匀加速直线运动，2s前甲的速度大于乙的速度，2s后，乙的速度大于甲的速度，选项A错误；2s时甲乙的速度都为为10m/s，甲的位移大于乙的位移，选项B错误；4s时乙追上甲，乙的位移为40m，选项C正确；4s内乙的平均速度为20m/s，等于甲的速度，选项D错误。
课时训练
1．【答案】B
【解析】在40秒时，a、b两物体的速度相等，此时两物体的相距最远，此时物体a的位移是：Sa=1300m，物体b的位移是：Sb=400m，Sa-Sb=900m，故选项AC错误；在60秒时，经计算，物体a的位移是：Sa=2100m，物体b的位移是：Sb=1600m，Sa＞Sb，所以物体a在物体b的方，故选项B正确；由图象可以看出，物体a在加速时，速度图象的斜率小于物体b加速时的图象斜率，故加速时，物体b的加速度要大，选项D错误；故选B.
2．【答案】CD
【解析】从图可以看出A、B两个物体均向正方向运动，只是一个是匀加速直线运动，另一个是匀减速直线运动，所以A错误；4s时刻，两者速度相等，正是两者相距最远的时刻，且为Δs=sA-sB=20m，此刻之后，两者之间的距离又逐渐减小，所以B错误，C、D正确。
3．【答案】D
【解析】对比公式可得汽车做匀减速直线运动，加速度大小为，汽车的初速度为，自行车的初速度为：，汽车的初速度大于自行车的初速度，则为自行车追赶汽车，AB错误；汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速直线运动，自行车追赶汽车，两者之间的间距先增大后减小，故C错误；两者相遇时，位移相同，故有，即当时两者相遇，此时自行车运动了，故D正确。
4．【答案】BD
【解析】因为图线与坐标轴围成的面积等于物体的位移，故由图线可看出甲在6s内的位移大于乙在6s内的位移，根据可知，0～6s内甲的平均速度大于乙的平均速度，选项AC错误，D正确；甲做变加速运动，乙做匀减速运动，在t=2s时，甲乙的速度相等，此时两者间距最大，故选项B正确；故选BD.
5．【答案】BC
【解析】试题分析：速度的正负代表方向，由图像知在第2小时末，乙车改变运动方向改变，A错误；在2小时内，甲的位移为30km，乙的位移为30km,则甲乙间的距离减少60km,则在第2小时末，甲乙两车相距10km，B正确；在v图象中斜率代表加速度则在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大，C正确；在第4小时末，甲的位移为120km，乙的位移为30km,甲在乙的前方，D错误。
6．【答案】AC
【解析】由图可知，a在前20内加速，加速度aa=1.5m/s2；b的加速度为2m/s2；故a的加速度小于b的加速度；故A正确；40s时，ab的速度相等，此时a、b两物体相距最远，可计算两者相距：，选项C正确，BD错误；故选AC.
7．【答案】（1）5m/s2（2）102m
【解析】（1） 解得：
该小车刹车时加速度大小为5m/s2
(2)小车在反应时间内做匀速运动
刹车后小车做匀减速直线运动
小车安全距离为：
8．【答案】(1)12 m　(2)(2＋2) s　70 m
【解析】 (1)两车距离最大时速度相等，设此时乙车已开动的时间为t，则甲、乙两车的速度分别是
v1＝3×(t＋2)＝3t＋6
v2＝6t
由v1＝v2得：t＝2 s
由x＝at2知，两车距离的最大值
Δx＝a甲(t＋2)2－a乙t2＝×3×42 m－×6×22 m＝12 m
(2)设乙车出发后经t′追上甲车，则
x1＝a甲(t′＋2)2＝×3×(t′＋2)2＝ m
x2＝a乙t′2＝×6×t′2＝3t′2
x1＝x2，代入数据求得t′＝(2＋2) s
将所求得的时间代入位移公式可得x1＝x2≈70 m
9．【答案】5 s
【解析】设甲车运动时间t后停止，前进了x甲，则t＝＝2.5 s，x甲＝v甲t－a甲t2＝12.5 m，乙车行驶t1＝(2.5－2) s＝0.5 s，位移为x乙＝a乙t12＝m10．【答案】（1）两车会相撞（2）aA≈0.83m/s2
【解析】（1）B车刹车的加速度大小为：aB＝＝2.5m/s2；两车速度相同时：t0＝＝8s；在这段时间内两车的位移分别为：xA＝vAt0＝80m ；xB＝ t0＝160m
因为xB＞xA+x0，则两车会相撞．
（2）设A车司机收到信号后以加速度aA加速前进，两车恰相遇不相撞应满足速度关系：
vA=vB 即：30－2.5t＝10＋aA（t－4）
位移关系xB＝xA＋x0 即：30t－×2.5t2＝75＋10×4＋10（t－4）＋aA(t－4)2；
解得：aA≈0.83m/s2