高中数学必修一第一、二章综合测试卷（含解析）

高中数学必修一第一、二章
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （　　）
A． B． 或
C． D． 或
2．已知集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．已知集合A={0，2，4}，B={x|3x﹣x2≥0}，则集合A∩B的子集个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
4．设a>1>b>-1，则下列不等式中恒成立的是 (　　)
A． B． C． D．
5．下列命题错误的是（　　）
A．命题“若 则 ”与命题“若 ，则 ”互为逆否命题
B．命题“ R, ”的否定是“ , ”
C． 且 ，都有
D．“若 ，则 ”的逆命题为真
6．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(-2，1) B．[-2，1]
C． D．
8．设正实数 ， 满足 ， ，不等式 恒成立，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．设，，且，则（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．若实数m，n满足，其中，则下列说法中正确的是（　　）
A．n的最大值为2 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．的最小值为4
12．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（　　）
A．满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M没有最大元素，N没有最小元素
D．M有一个最大元素，N有一个最小元素
三、填空题
13．命题“ x∈R，x2+2x﹣6＞0”的否定　 　．
14．函数 的最小值为　 　．
15．已知命题:“ x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题,则a的取值范围是　 　.
16．若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是　 　．
四、解答题
17．集合 ， ，求 .
18．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19． 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值.
20．已知不等式的解集为
（1）若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
（2）解关于的不等式：.
21．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.
（1）若，求；
（2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；
（3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.
22．我们知道，，因此，当且仅当时等号成立.即，的算术平均数的平方不大于，平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列两题.
（1）求函数的最大值；
（2）已知，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
因为 ，
所以 或 ，
又因为集合 ，
所以 或 ，
2．C
解不等式可得集合
因为集合
所以
3．C
解：集合A={0，2，4}，
B={x|3x﹣x2≥0}={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3}，
∴A∩B={0，2}，
∴A∩B的子集为 ，{0}，{2}，{0，2}共4个．
4．C
对于A，例如a=2，b=- ，此时满足a＞1＞b＞-1，故A错，
对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞-1但，故B错，
对于C，∵-1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2，故C正确，
对于D，例如a= b= 此时满足a＞1＞b＞-1，a2＜2bg，故D错，
5．D
对于A，由逆否命题的定义可得，命题“若 则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”，所以A符合题意．
对于B，由含量词的命题的否定可得，命题“ R, ”的否定是“ , ”，所以B符合题意．
对于C，当 且 时，由基本不等式可得 ．所以C符合题意．
对于D，命题“若 ，则 ”当 时不成立，所以D不符合题意．
6．A
7．C
8．C
设
因为 ， ， 且 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号，所以 故答案为：C.
9．A,C
10．A,C,D
对A：因为，当且仅当时，等号成立，
即，所以的最大值为，故A正确；
因为，则，可得，
对B：因为，所以无最小值，故B错误；
对C：因为，
当时，取到最小值为，故C正确；
对 D：因为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，可得，
所以的最小值为，故D正确；
11．B,C
对A项，因为，假设，则，显然有解，故n的最大值为2不成立，A项错误；
对B项，原式可变形得，则，当且仅当时等号成立，B项正确；
对C项，原式变形得，则，当且仅当时取到等号，C项正确；
对D项，原式变形得，代入得，当且仅当时取到等号，故的最小值为8，D项错误.
12．A,B,C
对于A，满足戴德金分割的定义，A符合题意；
对于B，取，符合戴德金分割，
M没有最大元素，N有一个最小元素，B符合题意；
对于C，取满足戴德金分割的定义，
M没有最大元素，N没有最小元素，C符合题意；
对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，根据戴德金分割定义，
必有，则无法满足，D不符合题意，
13． x∈R，x2+2x﹣6≤0
14．5
， ，当且仅当 时取等号，故答案为 .
15．[-8,+∞)
当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8,
如果“ x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题应有-a≤x2+2x,因为x2+2x在[1,2],为递增，过x2+2x在[1,2],的最大值为8，所以a≥-8.；故答案为[-8,+∞)
16．
因为正实数 ， 满足 ，所以 ，解得 或 ，而 均为正数，所以 ，设 ，
则 ，
时，由不等式 ，当且仅当 时等号成立知 在 上单调递增，又 ，所以 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值是 。
17．因为 ， ，
故 ，
， .
18．（1）解：由得，故，
若，则，
又，所以．
（2）解：由（1）知，
因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
所以，解得，故，
所以实数a的取值范围为．
19．（1）解：因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两根，
由韦达定理得，解得；
（2）解：由（1）得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最小值.
20．（1）解：，原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，
所以，解得，
因为，
故，
不等式有且仅有10个整数解，
故，
所以的取值范围为.
（2）解：当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为；
当时，原不等式等价于恒成立，
且的解集为，由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或；
当时，
，则无解；
当时，
，则.
综上所述：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
21．（1）解：由集合知，，
所以.
（2）解：因为，，
由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，
根据定义要让取到最大值，
则只需中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，
4，5，6，分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中
这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，
所以有一组满足题意，
（3）解：要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，
因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，
不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如，
则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如，
同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，
是集合中有个元素的非空真子集，且，例如，
所以，
解得或（舍去），
所以n的最大值为11.
22．解：（1）当时，，
即，当且仅当，即时等号成立，
而，故函数的最大值为；
（2）当，时，，则
即，当且仅当时等号成立，因此的最小值为，
恒成立恒成立，
故实数的取值范围是.
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