人教版数学九上 第二十二章 二次函数 单元练习（含答案）

人教版数学九上二次函数
一、单选题
1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若点 ， ， ，都在函数 的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
3．将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数 的图象与x轴有交点．则 的取值范围是（　　）
A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3
5．根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是（　　）
0 0.5 1 1.5 2
-1 -0.5 1 3.5 7
A． B． C． D．
6．二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ，下列结论不正确的是（　　）
A．
B．当 时，顶点的坐标为
C．当 时，
D．当 时，y随x的增大而增大
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8． 已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，m的值是（　　）
A． B．﹣2 C．﹣2或3 D．﹣6或﹣2
9．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．或
10．二次函数的图象与y轴相交于点C，过点C作直线l⊥y轴，将二次函数图象在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G.M(m-1，y1)，N(m+1，y2)为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．m<-1或m>0 B． C．0≤m< D．-1二、填空题
11．抛物线y=x2﹣2x+3的图象与y轴的交点坐标为　 　．
12．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -3 -4 -3 0 5 …
则此二次函数的对称轴为　 　
13．点在第二象限内，点，则的取值范围是　 　．
14．已知二次函数 的图象与x轴没有公共点，且当 时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　.
15． 关于的二次函数，在时有最大值6，则　 　．
16．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间经过时，将触发报警.现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）运动.若小车在运动过程中只触发一次报警装置，则a的取值范围是　 　.
三、解答题
17．已知函数 （为常数）．
（1）求当为何值时是的二次函数？
（2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值．
18．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？
19．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
20． 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点.抛物线经过A，B两点，且与x轴的另一个交点为.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）若点P是线段AB上一个动点，过点P作x轴的垂线，交该抛物线于点Q，连接AQ，BQ，求面积的最大值.
21．阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
… …
… …
其中　 　；
（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，回答下列问题：
①当时，则y的取值范围为　 　．
②直线经过点，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是　 　．
22．已知二次函数．
（1）当时，
①求该函数图象向顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
23．问题提出：
四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）．
（1）如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题：
①正方形的边长为___________（直接填空）；
②求关于的函数关系式；
（2）如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式；
（3）若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积．
参考答案
1．C
2．C
3．A
4．B
5．B
6．C
7．A
8．D
解：如图所示：当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，会有①②两种情况：
∵二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，
∴ 其与x轴的交点A（-2，0），下翻的图象解析式y＝x2-x-6
当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，此时直线过点A（-2，0）
∴ -（-2）+m=0
∴ m=-2
当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，此时直线与下翻的图象解析式y＝x2-x-6只有1个交点
∴ x2-x-6＝-x+m
∴x2-6-m=0
∴=-4（-6-m）=0
解得m=-6
综上，当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，m的值是-6或-2
9．B
解：∵与x轴的一个交点为，
∴存在实数根，
∴，
解得，
当k≤-5时，画出图像如图所示：
∴当x=-2时，，
解得，
当k≥1时，画出图像如图所示：
当x=-2时，，
解得，
∴，
10．D
解：在y=-x2+2mx-m2+2中，当x=m-1时，y=-（m-1）2+2m（m-1）-m2+2=1，
当x=m+1时，y=-（m+1）2+2m（m+1）-m2+2=1，
∴（m-1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y=-x2+2mx-m2+2对称轴对称的两点，
若m-1≥0，即（m-1，1）和（m+1，1）在y轴右侧或（m-1，1）在y轴上，（m+1，1）在y轴右侧，
则点（m-1，1）经过翻折得M（m-1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2），
如图：
由对称性可知，y1=y2，
∴此时不满足y1＜y2；
若m+1≤0，即（m-1，1）和（m+1，1）在y轴左侧或（m+1，1）在y轴上，（m-1，1）在y轴左侧，
则点（m-1，1）即为M（m-1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2），
∴y1=y2，
∴此时不满足y1＜y2；
若m-1＜0＜m+1，即（m-1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：
此时M（m-1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2；
∵m-1＜0＜m+1，
解得：-1＜m＜1，
故答案为：D
11．（0，3）
12．x＝-1
13．
14．-1≤a＜2
解：由题意得：△ ，解得 ，
，故抛物线开口向上，对称轴为x=a
当 时， 随 的增大而减小，则 ，
实数 的取值范围是-1≤a＜2.
15．2或
解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
16．a＝﹣1或a＜﹣ 或a＞
解：抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），
∴其对称轴为：x＝1，且图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0）.
∵抛物线顶点为（1，﹣4a），当顶点在线段AB上时，﹣4a＝4，则a＝﹣1；
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得4＝﹣3a，∴a＝﹣ ，
由对称轴为x＝1及图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0）可知，当a＜﹣ 时，抛物线与线段AB只有一个交点；
当抛物线过点（4，4）时，代入解析式得16a﹣8a﹣3a＝4，
∴a＝ ，同理可知当a＞ 时，抛物线与线段AB只有一个交点.
17．（1）；
（2）
18．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，
19．（1）解：根据题意可知，抛物线方程为 ，可知二次项系数a=-，a<0，抛物线图像开口向下，所以存在最大值，
对抛物线方程为 ，进行化简得：
y=-+，
可知当x=时，抛物线对应的值最大，最大值为：
因此演员弹跳的最大高度是米.
（2）解：当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC，
所以这次表演成功．
20．（1）抛物线解析式为：
（2）解：如图，设点P的横坐标为m，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，面积的最大值为
21．（1）1
（2）解：根据表格：
… …
… …
描点法作出函数的图象如下图所示：
（3）；
22．（1）解：①顶点坐标为(2，7)．
②当-1≤x≤3时，-2≤y≤7．
（2）解：∵当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，b>0．
∵抛物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2，∴c=2，
又∵当x>0时，y的最大值为3，∴，
∴b=±2．
∵b>0，
∴b=2．
∴二次函数的表达为y=-x2+2x+2．
23．（1）①4； ②
（2）；
（3）四边形的面积为3或．
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