2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. ， D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，满足，当，，且时，恒成立，设，，其中，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，，，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
8.如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.以数学家约翰卡尔弗里德里希高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如，，则( )
A. ，
B. 不等式的解集为
C. 当，的最小值为
D. 方程的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，为上的奇函数，则 ______．
13.已知关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是______．
14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
请你利用这个结论求得函数的对称中心为______．
已知函数与一次函数有两个交点，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知幂函数在定义域内单调递增．
求的解析式；
求关于的不等式的解集．
16.（15分）设，函数．
若函数是奇函数，求的值；
请判断函数的单调性，并用定义证明．
17.（15分）已知，．
若，，求，；
若，求的取值范围．
18.（17分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本万元，当月产量不足台时，万元；当月产量不小于台时，万元若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完．
求月利润万元关于月产量台的函数关系式；
月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
19.（17分）已知二次函数．
若，使等式成立，求实数的取值范围．
解关于的不等式其中．
参考答案
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15.解：由题意，令，解得或，
当时，，不满足在定义域内单调递增；
当时，，满足在定义域内单调递增；
的解析式为．
在上单调递增，
，解得．
即关于的不等式的解集为．
16.解：若函数为奇函数，则，
，则，
解得，由，得；
由知，函数为单调递增函数，证明如下：
设，
，
因为，所以，即且，，
所以，即，
所以函数在上为增函数．
17.解：因为，
当，时，，
故A，；
因为，，且，
所以是方程的根，设另一个根为，
则，
所以，
解得，
即的取值范围为．
18.解：当时，，
当时，
所以利润万元关于月产量台的函数关系式为
；
当时，，
当时，取得最大值为万元；
当时，，
当且仅当，即时取最大值．
综上，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为万元．
19.解：时，，
所以，
令，
设，可得，
令，则在上单调递增，在单调递减，
所以，
，
所以
不等式，整理可得，
当时，不等式可得，解得；
当，方程，可得或，
当时，，
又因为，可得不等式的解集为或；
当时，则不等式为，
当，即，不等式为，则解集为；
当，即，则，解集为；
当，即，则，解集为．
综上所述：当时，不等式解集为；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为．
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