（解析版）上海市七校2016届高三12月联合调研考试数学（理）试题

2015-2016学年第一学期高三教学调研 (2015.12)
数 学 试 卷（理工类）
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．函数的反函数是
【考点】反函数
【试题解析】
因为，所以，由得，
所以反函数为（）
【答案】
2、已知和的夹角为，则
【考点】数量积及其应用
【试题解析】
【答案】1
3、幂函数的图象过点，则
【考点】幂函数
【试题解析】
设，则有，所以，所以，
【答案】2
4、方程的解为_______________.
【考点】对数与对数函数
【试题解析】
由得，
所以，即，
所以，解得或
又因为，所以，所以
【答案】4
5、若直线的一个法向量，若直线的一个方向向量，则与的夹角= .(用反三角函数表示).
【考点】两条直线的位置关系
【试题解析】
因为的一个法向量为，所以的一个方向向量为
所以
【答案】
6、直线交圆于A、B两点，则
【考点】直线与圆的位置关系
【试题解析】
圆心到直线的距离，所以
【答案】2
7、已知且，则 .
【考点】同角三角函数的基本关系式
【试题解析】
，解得，
因为，所以
【答案】
8、无穷等比数列的前n项和为，若，则
【考点】数列极限
【试题解析】
当时，极限不存在，所以
由得，所以
【答案】4
9、已知有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【考点】零点与方程
【试题解析】
由得，在同一坐标系内做出和的图象如图
可知当时两图象有两个不同的交点，即有两个不同的零点，
所以实数的取值范围是
【答案】
10、已知是中的对边， 若，的面积为，则的周长为 .
【考点】解斜三角形
【试题解析】
，所以
由余弦定理，即
所以，
所以周长为
【答案】20
11、奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则
【考点】周期性和对称性
【试题解析】
因为是上的奇函数，所以，
又因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，即，
所以，
所以
所以是以8为周期的函数
所以
【答案】-1
12、已知等比数列的前n项和为，若成等差数列，且，若，则的取值范围为 .
【考点】等比数列
【试题解析】
若，，，，则，
此时不成等差数列，所以
由成等差数列得，所以
即，解得
又因为，即，所以，
所以
由得，即
当为偶数时，不等式不成立
当为奇数时，由得，所以
所以
【答案】
13、设过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 .
【考点】三角函数的图像与性质
【试题解析】
由已知，，所以，
又因为两直线的斜率分别是，，所以两直线互相垂直，所以
设，，则有
所以的最大值为5
【答案】5
14、设表示不超过的最大整数，如.给出下列命题：
①对任意的实数，都有；
②对任意的实数，都有；
③；
④若函数，当时，令的值域为A，记集合A中元素个数为，则的最小值为.其中所有真命题的序号为 .
【考点】函数综合
【试题解析】由定义可知①正确
对②，不妨设，，则，正确
对③，因为当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
所以，错误
对④，因为，所以
所以当时，，即，此时，即
当时，，即，此时，即
当时，，即，此时，即
当时，，即，此时，即
所以当时，
所以（当且仅当，即时等号成立）
所以当时取得最小值，正确
【答案】①②④
选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15、数列的前n项和为，则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、64
【考点】数列的递推关系
【试题解析】
故选A
【答案】A
16、是直线和平行且不重合的 （ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
【考点】两条直线的位置关系
【试题解析】
两直线平行等价于，即，所以，故选A
【答案】A
17、将的图象右移个单位后得到的图象.若满足的，有的最小值为，则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
【考点】三角函数的图像与性质
【试题解析】
，
因为，所以，，或，
所以的最小值为，即，所以
【答案】B
18、已知函数，若对任意，总有为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
【考点】导数的实际应用
【试题解析】
依题意，对任意，有成立
因为，所以
当时，为上的减函数，值域为，所以，
所以
当时，所以，符合题意
当时，为上的增函数，值域为，所以，所以
所以，即
所以，故选D
【答案】D
三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．（本题共2小题，满分12 分。第1小题满分 6 分，第2小题满分 6分）
公差不为零的等差数列中，成等比数列，且该数列的前10项和为100.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和的最小值.
【考点】等差数列
【试题解析】
（1）设公差为，由成等比数列，得，推出①由前10项和为100，得②，解①②得
所以：
（2）由，得，因数列是单调递增，所以：当时，；当时，，
因此：的最小值为
【答案】（1）；（2）
20．（本题共2小题，满分12 分。第1小题满分 6 分，第2小题满分 6分）
已知，设函数.
（1）当，求函数的值域；
（2）当，且，求的值.
【考点】三角函数的图像与性质
【试题解析】
（1）当，得：，得：
得，所以函数的值域为
（2）由，得，
因，推出，所以，
因
【答案】（1）；（2）
21．（本题共 2小题，满分 14 分。第1小题满分7 分，第2小题满分7 分）
已知，不等式的解集为，不等式的解集A；
（1）求集合A；
（2）设函数的定义域为B，若，求实数的取值范围.
【考点】绝对值不等式分式不等式
【试题解析】
（1）不等式的解集为，等价于的解集为，
得，不等式等价于不等式，
解不等式得解集：
（2）集合，因，所以不等式在上有解，得在上有解，
令，得，所以：为所求.
【答案】（1）；（2）
22．（本题3小题，满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8 分）
已知椭圆的长轴长与焦距比为，左焦点，一定点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，
求证：；
（3）求面积的最大值.
【考点】圆锥曲线综合
【试题解析】
（1）因，又，得，所以E方程为
（2）设过的直线为交椭圆E于
由得：
由题意：，得，且，
因
而
所以：得证.
（3）由（2）点F到直线的距离为且，
所以：的面积
令得：
所以当时，取最大值为
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
23．（本题3小题，满分18分。第1小题6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
对定义在上的函数如果同时满足以下三个条件：
①对任意，总有
②
③若，有成立，
则称函数为理想函数.
（1）判断是否为理想函数，并说明理由；
（2）若为理想函数，求的最小值和最大值；
（3）若为理想函数，假设存在满足
求证：.
【考点】函数综合
【试题解析】
（1）为理想函数，
理由：因为单调递增函数，且，所以满足条件①；因满足条件②；当时，
满足条件③，所以为理想函数
（2）由条件①
由条件an得
所以得的最小值为0
因，得，则
由
所以，又
得的最大值为1
（3）反证法：假设，则或.
不妨设，令 ，
则
因，所以，得
又所以，即与假设矛盾，
所以成立.
【答案】（1）是理想函数；（2）最小值为0，最大值为1 ；（3）见解析