4.2.1等差数列的概念教学设计（表格式）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第二册人教A版
文档属性
| 名称 | 4.2.1等差数列的概念教学设计（表格式）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第二册人教A版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 191.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-01 23:15:51 | ||
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文档简介
教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 等差数列的概念（第一课时）
教科书 书 名：数学选择性必修第二册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月
教学目标
1. 了解等差数列的概念和等差中项的概念，会求等差数列的通项公式. 2. 了解等差数列和一次函数的关系，会用通项公式解决一些简单问题.
教学内容
教学重点： 等差数列的概念和等差中项的概念，会求等差数列的通项公式. 教学难点： 等差数列通项公式的推导，理解等差数列和一次函数的关系.
教学过程
复习回顾 我们知道，数列是一种特殊的函数．在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用． 下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手． 二、概念引入 1.北京天坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48 ② 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 ③ 你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 对于数列①，我们发现，，…，， 换一种写法，就是，，…，. 如果用表示数列①，那么有 ，，…， 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． 数列②～③也有这样的取值规律吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示 判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差． （1）2，4，6，8，10，… （2）4，3，2，1，0，，… （3）1，1，1，1，… （4）2，0，2，0，2，0，… 设计意图：由具体事例归纳引出等差数列的概念，并学会辨析概念. 一个等差数列至少需要几项呢？ 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时，叫做与的等差中项. 你能用表示吗？ 的等差中项是它们的算术平均数 你能用符号表示等差数列的定义吗？ 设是公差为的等差数列，则 你能根据等差数列的递推公式推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为 根据等差数列的定义，可得 所以，，，，… 于是，， ， ， …… 归纳可得（） 当时，上式为，这就是说，上式当时也成立 因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为 你还能用其它方法推导等差数列的通项公式吗？累加法 …… 将上述式子相加，可得即 你能写出这些等差数列的通项公式吗？ （1）2，4，6，8，10，… （2）4，3，2，1，0，，… （3）1，1，1，1，… （2） （3） 总结：知道等差数列的基本量：首项和公差，就可以求出通项公式 设计意图：用不完全归纳法和累加法求出等差数列的通项公式，并且了解由等差数列的基本量：首项和公差，就可以求出通项公式. 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 由于 当时，，是常值函数； 当时，是一次函数（）当时的函数值，即 等差数列的图象与一次函数的图象有什么关系呢？ 公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上 反之，任给一次函数，它所确定的数列一定是等差数列吗？ 而首项 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列 结论：数列是公差不为0的等差数列的充要条件是：数列的通项公式是关于的一次函数 能从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ ，对应函数 时，等差数列单调递增； 时，等差数列单调递减； 时，等差数列是常数列 设计意图：推导数列是公差不为0的等差数列的充要条件，了解它与一次函数的关系，并会从函数角度研究单调性. 例1.已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项； 解：当时，由的通项公式，可得 . 于是. 把代入通项公式，得. 所以，的公差为，首项为3. 追问：你还有其它方法求出公差吗？ 解法2：由于已知为等差数列，只要计算与，两者之差即为公差 解法3：由于等差数列是关于的一次函数，因此，一次项系数即为公差，可以直接从通项公式看出公差的值 设计意图：会由等差数列的通项公式求出两个基本量：首项和公差. 例2.求等差数列8，5，2，…的第20项，并判断是否是数列中的项？如果是，是第几项？ 分析：可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.判断是否是数列中的项，就是看它关于通项公式的方程是否有正整数解 解：由已知条件，得. 把，代入，得 . 把代入上式，得. 所以，这个数列的第20项是. 令，解这个关于n的方程，得. 所以，是这个数列的项，是第100项. 设计意图：会求等差数列的通项公式，会由通项公式确定项的序号 三、课堂小结 1.等差数列的概念（文字描述和递推公式） 2.等差中项的概念 3.等差数列的通项公式（不完全归纳法和累加法，与一次函数关系） 4.等差数列通项公式的应用 四、布置作业 完成配套作业练习.
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 等差数列的概念（第一课时）
教科书 书 名：数学选择性必修第二册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月
教学目标
1. 了解等差数列的概念和等差中项的概念，会求等差数列的通项公式. 2. 了解等差数列和一次函数的关系，会用通项公式解决一些简单问题.
教学内容
教学重点： 等差数列的概念和等差中项的概念，会求等差数列的通项公式. 教学难点： 等差数列通项公式的推导，理解等差数列和一次函数的关系.
教学过程
复习回顾 我们知道，数列是一种特殊的函数．在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用． 下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手． 二、概念引入 1.北京天坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48 ② 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 ③ 你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 对于数列①，我们发现，，…，， 换一种写法，就是，，…，. 如果用表示数列①，那么有 ，，…， 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． 数列②～③也有这样的取值规律吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示 判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差． （1）2，4，6，8，10，… （2）4，3，2，1，0，，… （3）1，1，1，1，… （4）2，0，2，0，2，0，… 设计意图：由具体事例归纳引出等差数列的概念，并学会辨析概念. 一个等差数列至少需要几项呢？ 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时，叫做与的等差中项. 你能用表示吗？ 的等差中项是它们的算术平均数 你能用符号表示等差数列的定义吗？ 设是公差为的等差数列，则 你能根据等差数列的递推公式推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为 根据等差数列的定义，可得 所以，，，，… 于是，， ， ， …… 归纳可得（） 当时，上式为，这就是说，上式当时也成立 因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为 你还能用其它方法推导等差数列的通项公式吗？累加法 …… 将上述式子相加，可得即 你能写出这些等差数列的通项公式吗？ （1）2，4，6，8，10，… （2）4，3，2，1，0，，… （3）1，1，1，1，… （2） （3） 总结：知道等差数列的基本量：首项和公差，就可以求出通项公式 设计意图：用不完全归纳法和累加法求出等差数列的通项公式，并且了解由等差数列的基本量：首项和公差，就可以求出通项公式. 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 由于 当时，，是常值函数； 当时，是一次函数（）当时的函数值，即 等差数列的图象与一次函数的图象有什么关系呢？ 公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上 反之，任给一次函数，它所确定的数列一定是等差数列吗？ 而首项 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列 结论：数列是公差不为0的等差数列的充要条件是：数列的通项公式是关于的一次函数 能从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ ，对应函数 时，等差数列单调递增； 时，等差数列单调递减； 时，等差数列是常数列 设计意图：推导数列是公差不为0的等差数列的充要条件，了解它与一次函数的关系，并会从函数角度研究单调性. 例1.已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项； 解：当时，由的通项公式，可得 . 于是. 把代入通项公式，得. 所以，的公差为，首项为3. 追问：你还有其它方法求出公差吗？ 解法2：由于已知为等差数列，只要计算与，两者之差即为公差 解法3：由于等差数列是关于的一次函数，因此，一次项系数即为公差，可以直接从通项公式看出公差的值 设计意图：会由等差数列的通项公式求出两个基本量：首项和公差. 例2.求等差数列8，5，2，…的第20项，并判断是否是数列中的项？如果是，是第几项？ 分析：可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.判断是否是数列中的项，就是看它关于通项公式的方程是否有正整数解 解：由已知条件，得. 把，代入，得 . 把代入上式，得. 所以，这个数列的第20项是. 令，解这个关于n的方程，得. 所以，是这个数列的项，是第100项. 设计意图：会求等差数列的通项公式，会由通项公式确定项的序号 三、课堂小结 1.等差数列的概念（文字描述和递推公式） 2.等差中项的概念 3.等差数列的通项公式（不完全归纳法和累加法，与一次函数关系） 4.等差数列通项公式的应用 四、布置作业 完成配套作业练习.