4.3.1等比数列的概念 教学设计（表格式）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第二册人教A版

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 等比数列的概念
教科书 书 名：数学选择性必修第二册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月
教学目标
1. 能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题． 2. 探究发现等差与等比数列的联系，并能解决相关问题.
教学内容
教学重点： 实际问题数学模型化的探究，等比数列与等差数列的联系.
教学难点： 实际问题数学化成等比数列问题的分析与理解
教学过程
一、复习巩固 等比数列：如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)． 符号表示：． 通项公式： 函数性质： 等比数列：的单调性单调递减 单调递增 无单调性单调递增单调递减无单调性
二、典例分析 例1 用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 分析： 1.复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息， 2.若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，，，…构成等比数列． 解析：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以． 所以，12个月后的利息为（元）． （2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是． 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元． 解不等式，得． 所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 归纳：一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解． 设计意图：通过运用等比数列模型，解决实际问题．发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养．增强应用意识． 例2 已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明． 【证明】（1）由，，得的通项公式为． 设，则． 又，所以，是以27为首项，9为公比的等比数列． （2）由，，得．两边取以3为底的对数，得． 所以． 又，所以，是首项为1，公差为的等差数列． 结论：1.若是等差数列，则数列是等比数列； 　2.若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列 设计意图：通过典型例题，加深对等差与等比数列概念的理解，体会等差与等比数列的内在联系。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。 例3 设等比数列满足，，则的最大值为　 　． 解析一：等比数列满足，即，解得． 则， 当或4时，表达式取得最大值为．故答案为64． 解析二：等比数列满足，即，解得． 则，记， 则，两式相乘，得，所以． 后面解析同方法一． 设计意图：通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理和数学运算的核心素． 三、应用巩固 1．在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，则这两个数依次为 . 答案：27、81 解析：在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，设等比数列的公比为， 则，解得，所以在9与243中间插入2个数为、. 2．正项等比数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：设等比数列的公比为，由已知可得， 则有，所以 ， 当且仅当即等号成立． 四、课堂小结 等差数列等比数列不同点(1)每一项与前一项的差； (2)和可以为零； (3)等差中项唯一．(1)每一项与前一项的比； (2)和均不为零； (3)等差中项有两个值．相同点(1)都强调每一项与前一项的关系； (2)差（比）都必须是常数； (3)数列都可以由或确定．联系(1)若为正项等比数列，则为等差数列； (2)若为等差数列，为等比数列，则为等比数列．
★掌握建模法求解等比数列有关的实际问题． 五、布置作业 完成作业练习