2024-2025学年广东省深圳市建文外国语学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市建文外国语学校高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，四面体中，点是的中点，记，，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.如图，在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在正方体中，棱长为，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.正方体不在同一表面上的两顶点，，则正方体的体积是( )
A. B. C. D.
8.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是( )
A. 点与点关于轴对称
B. 点与点关于轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10.已知向量，，，则( )
A. B.
C. D.
11.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知、，为线段上一点，且，则的坐标为______．
13.已知，，，，则 ______．
14.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设．
求的长；
求异面直线和夹角的余弦值．
16.本小题分
已知向量，．
求；
求；
求．
17.本小题分
已知空间三点，，，设，．
若与互相垂直，求实数的值；
若，，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点证明：
平面；
平面平面．
19.本小题分
若，，，，，，则称为维空间向量集，为零向量对于，任意，，定义：
数乘运算：；
加法运算：；
数量积运算：；
向量的模：．
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关．
对于，判断下列各组向量是否线性相关：
；
；
已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；
证明：对于中的任意两个元素，均有．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在平行六面体中，
因为，，，，，是的中点，
，
所以，
由题意，，，
，，
，
所以，
所以；
，
，，
所以，．
设异面直线和夹角为，则，
所以，．
所以异面直线和夹角的余弦值为．
16.解：；
，
则；
，则．
17.解：，，
，，
与互相垂直，
则，解得或；
，，
则可设，
，
则，解得，
故或．
18.解：因为平面，且平面，所以，
又因为，且，，平面，所以平面，
依题意，以点为原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由为棱的中点，得，则，
所以为平面的一个法向量，
又，所以，
又平面，所以平面．
由知平面的法向量，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，所以，
又，
所以，所以平面平面．
19.解：对于，假设与线性相关，
则存在不全为零的实数，使得，
则即，
可取，满足方程组，所以线性相关；
对于，假设线性相关，则存在不全为零的实数，，，
使得，则
可取，满足方程组，所以线性相关；
解：假设线性相关．
则存在不全为零的实数，，，，
使得，
即，
因为线性无关，
所以解得，与线性相关定义相矛盾，
所以向量线性无关；
证明：设，
则由题设定义，可得：
，
，
则，
所以
，
当且仅当，，，成立时，等号成立，
所以，故原式得证．
第1页，共1页