2024-2025学年吉林省长春八中高三（上）月考数学试卷（一模）（含答案）

2024-2025学年吉林省长春八中高三（上）月考数学试卷（一模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设，则“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
5.定义：如果集合存在一组两两不交两个集合的交集为空集时，称为不交的非空真子集，，，，且，那么称子集族构成集合的一个划分已知集合，则集合的所有划分的个数为( )
A. B. C. D.
6.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则有( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若把函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则( )
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在上有个零点
10.已知函数，若存在四个不同的值，，，，使得，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知为斜三角形，角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. 的最小值为
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在中，分别是边，上的点，，且，点是线段的中点，且，则 ______．
13.设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______．
14.已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，三棱锥中，平面，，，是棱上一点，且．
证明：平面；
若，求与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，，，且_____，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
设，若存在，，且，使不等式成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
设椭圆的左右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
求椭圆方程及其离心率；
已知点是椭圆上一动点不与端点重合，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
19.本小题分
我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示平面向量又称为二维向量一般地，元有序实数组称为维向量，它是二维向量的推广类似二维向量，对于维向量，也可定义两个向量的数量积、向量的长度模等：设，，则；已知向量满足，向量满足．
求的值；
若，其中，当且时，证明：．
参考答案
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15. 证明：因为，，，所以，
因为，
所以，因为平面，所以，
又，平面，
所以平面；
由条件，，，两两垂直，以方向为，，轴正方向建系如图，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则，，所以，
则，
故与平面所成角的正弦值为．
16.解：因为，
可知角是钝角，
又因为，则，
可得．
选择条件：
因为，
即，
化简得，
即，
由正弦定理得．
由，
解得，
由余弦定理可得，
所以．
选择条件：
因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
由正弦定理得，
由，
解得，
由余弦定理可得，
所以．
17.解：
．
令得或．
当，即时，在时恒成立，即在上单调递增．
当，即时，在和上单调递增，在上单调递减．
当，即时，在和上单调递增，在上单调递减．
当，即时，在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，在上单调递增，不妨设，
则不等式可化为．
，令，则在上存在单调递减区间．
在区间有解，
即在上有解，
，，
故．
18.解：由题意可知，，解得，
．
则椭圆方程为，椭圆的离心率为；
由题意可知，直线的斜率存在且不为，
当时，直线方程为，取，得．
联立，得．
，
，得，则．
．
．
，即，得；
同理求得当时，．
直线的方程为．
19.解：依题，，，
则 ，
，
，得，
即，
．
证明：，，
，
先证：，，
设，，则，
在上单调递增，即当时，，
即，
故，．
，
，
．
综上可得，当且时，．
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