第五章 一元函数的导数及其应用 小结 课件（共25张PPT）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第二册人教A版

(共25张PPT)
导数小结
主讲教师：李青青
学 校：瑞安市塘下中学
年 级：高二
学 科：高中数学（人教A版）
小结
高中数学选择性必修第二册——第五章 一元函数的导数及其应用
复习引入：阅读教材P102-P103，并思考以下问题。
1.平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系？
2.你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗？
3.利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么？
4.导数的四则运算法则是什么？如何求简单复合函数的导数？
5.利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？
6.通过本章的学习，你对“导数是研究函数性质的基本工具”有什么体会？
问题1：平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系？
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity).
平均速度：
瞬时速度：
问题2：你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗？
物理问题：
跳水运动员起跳后的速度问题
几何问题：
抛物线的切线斜率问题
切线斜率
割线斜率
瞬时速度
平均速度
瞬时变化率
平均变化率
取极限
取极限
取极限
逼近
B
A
切线斜率
割线斜率
以直代曲
问题3：利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么？
以“求函数的导数”为例
(1)求函数的变化量：
(2)求平均变化率：
当x=x0时，可求得
(3)若 极限存在，
取极限，得导数：
0
教材：P74
问题4：导数的四则运算法则是什么？
探究：设f(x)=x2，g(x)=x，计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f'(x)和g'(x)有什么关系 再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗 由此你能想到什么
导数的四则运算法则
(2)[f(x)·g(x)]′=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(1)[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x)
特别地，有[cf(x)]′=cf ′(x)
问题5：如何求简单复合函数的导数？
复合函数 y = f( g(x) ) 的导数和函数 y = f(u), u = g(x) 的导数间的关系为
yx = yu ·ux ,
即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
典例示范：
导数小结（第二课时）
主讲教师：李青青
学 校：瑞安市塘下中学
年 级：高二
学 科：高中数学（人教A版）
高中数学选择性必修第二册——第五章 一元函数的导数及其应用
复习引入：阅读教材P102-P103，并思考以下问题。
1.平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系？
2.你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗？
3.利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么？
4.导数的四则运算法则是什么？如何求简单复合函数的导数？
5.利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？
6.通过本章的学习，你对“导数是研究函数性质的基本工具”有什么体会？
小结
问题1：导数与函数单调性的关系？
设函数在区间(a , b)内可导, 则
① 如果 , 那么在内为增函数.
② 如果, 那么 在内为减函数.
③ 如果, 那么在内为常数函数.
但是，
如果 在内(或)
个点 ),
那么在内仍为增函数(或减函数).
(其中有限
如 在上是增函数，而它在 处的导数等于0.
函数的极大、极小值
问题2：函数极值与函数最值的关系？
在闭区间上连续的函数必有最大值和最小值.
①求函数在内的极值；
求在上的最大值与最小值的步骤:
②求函数在区间端点的值；
③将函数在各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
如果函数 在上连续，在内可导，那 么如何求 在内的最大值与最小值呢？
问题3：利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？
以“”为例：
（1）确定函数的定义域；
（2）求出导数的零点（即 时，的值）；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.
（4）确定极值点（极值）；
导数应用之一——求单调性、极值、最值问题
求 的单调性、极值点及在[0，3]上的最值
导数应用之二——求切线问题
已知曲线，求在点处的切线方程
解：
又∵
∴
∴该点处切线为
变式：已知曲线，求过处的切线方程
导数应用之三——利用导数画图象
练习：教材P104T17：经典问题之 ----
组合函数的大致图象
定义域优先意识
注意:(1)不连续;(2)特殊点；（3）极限位置
问题4：通过本章的学习，你对“导数是研究函数性质的基本工具”有什么体会？