吉林省长春三中2024-2025学年高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年吉林省长春三中高三（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则有( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，，则下列说法中正确的是( )
A. 命题，都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题
C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题，都是假命题
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.若复数满足，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
6.若，，满足，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.在，，，，这些数中，各位数字按严格递增如“”或严格递减如“”顺序排列的数的个数是( )
A. B. C. D.
8.若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是( )
A.
B. 的图象关于点中心对称
C. 的图象关于直线对称
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论成立的是( )
A. 的最小正周期为 B. 曲线关于直线对称
C. 点是曲线的对称中心 D. 在上单调递增
11.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 存在正整数，使得恒成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，则的值为______．
13.已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
14.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等由曲线，，围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知三角形中，三个内角、、的对应边分别为，，，且，．
若，求；
设点是边的中点，若，求三角形的面积
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，是边长为的正三角形，，为的中点，将沿折到的位置，．
求证：；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分若正确答案为两项，每对一项得分：若正确答案为三项，每对一项得分；
学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了不选和错误判断的概率如表：
选项 作出正确判断 判断不了不选 作出错误判断
若此题的正确选项为求学生甲答此题得分的概率：
某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ随机选一个选项；Ⅱ随机选两个选项．
若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得分、得分的概率．
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
已知：，，
所以，解得，
故；
由得：，
所以．
16.解：中，，，，
由余弦定理得，，
即，
整理得，
解得或不合题意，舍去，
所以；
如图所示，
点是边的中点，，
，
所以，
即，
解得，
所以，
的面积．
故答案为：．
17.解：当时，，，所以，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为；
，，
则，
当时，，则在上单调递增．
当时，得出 ，则在上单调递增；
得出，所以在上单调递减；
综上所述：若时，在上单调递增，
若时，在上单调递增，在上单调递减．
18.解：证明：因为是边长为的正三角形，为的中点，所以，
所以，，，，，
则，所以，又，即，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以；
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，解得，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：设事件表示“学生答此题得分”，
即对于选项A、作出正确的判断，且对于选项B、作出正确的判断或判断不了，
所以；
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
；
对于方案：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则的所有可能取值为，，，
则，
，
，
所以；
对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：，，，
则，
，
，
所以，
要使唯独选择方案最好，则，
解得：，
故的取值范围为．
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