2024-2025学年北京交大附中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京交大附中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式：，，，，中，最简二次根式有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的( )
A. B. C. D.
4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.下表是某社团名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这名成员年龄的统计量是( )
A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数
6.如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直，把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接如图所示的图象中，是该图象的最低点下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图所示图象表示的是( )
A. 点与的距离为，点与的距离为
B. 点与的距离为，点与的距离为
C. 点与的距离为，点与的距离为
D. 点与的距离为，点与的距离为
8.如图，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，≌，连接设，，，给出下面三个结论：
；
；
．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10.将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值是______．
11.在 中，若，则的度数为______度
12.已知是一元二次方程的一个解，则的值为______．
13.将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线的表达式为______．
14.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______．
15.如图，矩形的对角线、相交于点，，，那么的长是______．
16.已知抛物线是常数，经过点和，当时，与其对应的函数值有下列结论：；关于的方程有两个不等的实数根；；若方程的两根为，，则其中正确的有______．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程：．
四、解答题：本题共11小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：．
19.本小题分
在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”．
小丽的作法如下：
分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点；
连接，与交于点；
以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点；
分别连接线段，，，所以四边形就是所求作的正方形．
根据小丽的作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：，，
四边形为平行四边形______填推理的依据
，即，
四边形为矩形______填推理的依据
______，
四边形为正方形______填推理的依据
20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：对于任意实数，该方程总有实数根；
若这个一元二次方程的一根大于，求的取值范围．
21.本小题分
已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表：
二次函数图象的开口方向______，顶点坐标是______，的值为______；
点、在函数图象上， ______填、、；
当时，的取值范围是______；
关于的一元二次方程的解为______．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
求，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
23.本小题分
如图，在中，，点，分别是，的中点连接并延长至点，使得连接，，．
求证：四边形是菱形；
连接，若，，求的长．
24.本小题分
某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．
初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分百分制对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息．
教师评委打分：
学生评委打分的频数分布直方图如图数据分组：第组，第组，第组，第组，第组，第组：
评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
的值为______，的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余名教师评委打分的平均数为，则 ______填“”“”或“”；
决赛由名专业评委给每位选手打分百分制对每位选手，计算名专业评委给其打分的平均数和方差平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委 评委 评委 评委 评委
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中为整数的值为______．
25.本小题分
电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状如图，在一个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米米，以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米即、两点的铅直高度差．
结合上面信息，回答问题：
若以米为一个单位长度，则点坐标为______，下垂电缆的抛物线表达式为______．
若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患说明：直线轴分别交直线和抛物线于点、点距离坡面的铅直高度为的长，请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
若对于，，有，求的值；
若对于，，存在，求的取值范围．
27.本小题分
已知：在正方形中，点是延长线上一点，且，连接，过点作的垂线交直线于点，连接，取的中点，连接．
当时，
补全图；
求证：≌；
用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
如图，当时，请你直接写出线段，，之间的数量关系．
28.本小题分
在平面直角坐标系中，为平面内一点对于点和图形给出如下定义：若图形上存在点，使得点与点关于点对称，则称点为图形关于点的“中心镜像对称点”．
如图，，．
在点，，，中，线段关于点的“中心镜像对称点”是______；
若点是线段关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出点的横坐标的取值范围；
如图，矩形中，，，，若直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出的取值范围．
参考答案
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14.分
15.
16.
17.解：将原方程左边分解因式，得
，
或，
，．
18.解：
．
19.解：图形如图所示：
证明：，，
四边形为平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，即，
四边形为矩形对角线相等的平行四边形是矩形，
，
四边形为正方形对角线垂直的矩形是正方形．
20.证明：关于的一元二次方程，
，
对于任意实数，该方程总有实数根；
解：设方程的两个实数根为、，
，
，，
这个一元二次方程的一根大于，
，
解得：，
的取值范围．
21.向上；；；
；
；
或．
22.解：直线点，
，
解得，
将点代入得：，
解得．
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
．
的取值范围是．
23.证明：点是的中点，
．
，
四边形是平行四边形．
在中，，点是的中点，
．
四边形是菱形；
解：过点作交的延长线于点．
，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
．
．
在中，
．
24.；；
；
甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，
名专业评委给乙选手的打分为，，，，，
乙选手的方差，
名专业评委给丙选手的打分为，，，，，
乙选手的方差小于丙选手的方差，
丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，
，
，
为整数，
为整数的值为，
25.，；
这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：
由可知：，，，
设斜坡解析式为，代入，，
可得：，
解得：，
斜坡解析式为，
则电缆与坡面的铅直高度，
，
当时，有最小值为，，
这种电缆的架设符合安全要求；
26.解：点，在抛物线上，且，，，
；
，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
设抛物线上的四个点的坐标为，，，，
点关于对称轴的对称点为
抛物线开口向上，点是抛物线顶点，
：
当时，，
．
，
不存在，不符合题意；
当时，，
．
，
存在，符合题意；
当时，的最小值为，
，
存在，符合题意；
当时，，
，
，
存在，符合题意；
当时，，
，
，不存在，不符合题意；
综上所述，的取值范围是．
27.解：如图即为所求，
证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
即，
，
≌；
，理由如下：
在上取一点，使得，连接，
≌，
；
，点是的中点，
是的中位线，
，
由得，，，
，，
，
，
，
；
，
理由如下：在延长线上取一点，使得，连接．
四边形是正方形，
，，，
，，即，
，
≌，
，
点是的中点，
是的中位线，，
，，
，
，
，
，
．
28.，．
设点关于点的对称点的横坐标为，
点是线段关于点的“中心镜像对称点”，
，
解得：，
线段上所有点的横坐标在和之间包括和，
，
解得：．
解：如图，
根据题意得：点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，
当直线过点时，
，
解得：，
当直线过点时，
，
解得：，
直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”，的取值范围为．
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