6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件（共20张PPT）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第三册人教A版
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件（共20张PPT）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第三册人教A版 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 20.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-02 11:44:21 | ||
图片预览
文档简介
(共20张PPT)
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
主讲教师：
学 校：
年 级：高二
学 科：高中数学（人教A版）
问题 近期学校新购置了一批课桌，需要对每张课桌设定一个编号（由1个字母和2个数字组成），编号的第一个位置要求是字母，后两个位置是数字（可以重复），你觉得有多少种不同的编号？
这就是本章要研究的“计数”问题.
如果问题中数量较少，通过列举一个一个地数也是计数的一种基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高或者不现实.所以我们有必要去探索一些高效巧妙的计数方法。
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
思考1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
给一个座位编号
怎么去做这件事情
在字母或数字中选择一个
每类能否单独完成
能够，关键词是“或”
如何计数
26+10=36（种）
你能概括出上述计数过程的基本环节吗？
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类
（2）分别计算各类号码的个数
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表所示：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 经济学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每类能否单独完成
如何计数
选择一个专业
从A大学或B大学中选择一个专业
能够，关键词是“或”
5+4=9（种）
变式1 如果数学也是A大学的强项专业，如右表所示：那么
A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，
如果只能选一个专业，那么这名同学共有多少种选择？
注意：运用分类加法计数原理的前提条件是：每类不同方案中的方法互不相同.
A大学 B大学
数学 数学
生物学 会计学
化学 经济学
医学 法学
物理学
工程学
解：因为只区分专业选择的不同，而不区分专业从属学校的
差异，所以当数学均为A，B两所大学的强项专业时，专业可
选择种数为6+4－1=9.
变式2 在例1的条件下增加C大学的2个不同专业，如右表所示：
这时这名同学从中选择一个专业，共有多少种选择？
A大学 B大学 C大学
生物学 数学 教育学
化学 会计学 心理学
医学 经济学
物理学 法学
工程学
解：因为3所大学没有一个专业是相同的，所以根据分类加法
计数原理，这名同学可能的专业选择种数为N=5+4+2=11.
小结：如果完成一件事有三类不同的方案，在第1类方案中有
m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3
类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+m3
种不同的方法.
延伸：如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+……+mn种不同的方法.
你能举几个生活中可以运用分类加法计数原理的计数例子吗
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每类能否单独完成
如何计数
思考2：用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
注意：树状图是解决计数问题常用的方法.
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
给一个座位编号
怎么去做这件事情
先选一个字母，再选一个数字
每步骤能否单独完成
不能，关键词是“和”
如何计数
6×9=54（种）
字母
A
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
得到的号码
A1
A7
A5
A9
A4
A2
A3
A6
A8
你能概括出上述计数过程的基本环节吗？
（1）确定分步标准，根据问题条件分为先确定字母，后确定数字两步
（2）分别计算各步方法个数
（3）各步方法的个数相乘，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
注意：无论第一步采用哪种方法，与之对应的第二步都有相同的方法数.
例2 某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每步骤能否单独完成
如何计数
选男生和女生各一名
先从男生中选一名，再从女生中选一名
不能，关键词是“和”
30×24=720（种）
变式 某班有男生30名，女生24名以及任课老师6名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛以及选出1名任课老师为比赛学生加油，共有多少种不同的选法？
解：这里要完成的事情是“选男生，女生以及任课老师各1名”，可以分3个步骤：第一步，选男生，有30种选法；第二步，选女生，有24种选法；第三步，选任课老师，有6种选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N=30×24×6=4320.
小结：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步中有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3种不同的方法.
延伸：如果完成一件事需要n个步骤，做每一步分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×……×mn种不同的方法.
你能举几个生活中可以运用分步乘法计数原理的计数例子吗
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每步骤能否单独完成
如何计数
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每类能否单独完成
如何计数
4+3+2=9（种）
从书架上取1本书
从第一层或第二层或第三层中挑选一本书
能够，关键词是“或”
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每步骤能否单独完成
如何计数
4×3×2=24（种）
从书架上取3本书
先从第一层挑1本书
再从第二层挑1本书
最后从第三层挑1本书
不能，表达“和”的意思
变式 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从中任取2本不同学科的书，有多少种不同取法？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每类能否单独完成
如何计数
4×3+4×2+3×2=26（种）
从书架上取2本不同学科的书
挑选计算机书和文艺书各1本
或挑选计算机书和体育书各1本
或挑选文艺书和体育书各1本
能够，但每一类内部又要分步完成
回顾问题 近期学校新购置了一批课桌，需要对每张课桌设定一个编号（由1个字母和2个数字组成），编号的第一个位置要求是字母，后两个位置是数字（可以重复），你觉得有多少种不同的编号？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每步骤能否单独完成
如何计数
26×10×10=2600（种）
设定一个编号
先第一个位置选字母
再第二个位置选数字
最后第三个位置选数字
不能，关键词是“和”
课堂小结
1.分类加法计数原理：
2.分步乘法计数原理：
如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+……+mn种不同的方法.
如果完成一件事需要n个步骤，做每一步分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×……×mn种不同的方法.
分类完成
相加
分步完成
相乘
在运用两个计数原理解决问题之前，最重要的是要在开始计算之前仔细分析要完成的“一件事”是什么？怎么完成？
不重不漏
步骤完整
同学们，再见
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
主讲教师：
学 校：
年 级：高二
学 科：高中数学（人教A版）
问题 近期学校新购置了一批课桌，需要对每张课桌设定一个编号（由1个字母和2个数字组成），编号的第一个位置要求是字母，后两个位置是数字（可以重复），你觉得有多少种不同的编号？
这就是本章要研究的“计数”问题.
如果问题中数量较少，通过列举一个一个地数也是计数的一种基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高或者不现实.所以我们有必要去探索一些高效巧妙的计数方法。
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
思考1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
给一个座位编号
怎么去做这件事情
在字母或数字中选择一个
每类能否单独完成
能够，关键词是“或”
如何计数
26+10=36（种）
你能概括出上述计数过程的基本环节吗？
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类
（2）分别计算各类号码的个数
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表所示：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 经济学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每类能否单独完成
如何计数
选择一个专业
从A大学或B大学中选择一个专业
能够，关键词是“或”
5+4=9（种）
变式1 如果数学也是A大学的强项专业，如右表所示：那么
A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，
如果只能选一个专业，那么这名同学共有多少种选择？
注意：运用分类加法计数原理的前提条件是：每类不同方案中的方法互不相同.
A大学 B大学
数学 数学
生物学 会计学
化学 经济学
医学 法学
物理学
工程学
解：因为只区分专业选择的不同，而不区分专业从属学校的
差异，所以当数学均为A，B两所大学的强项专业时，专业可
选择种数为6+4－1=9.
变式2 在例1的条件下增加C大学的2个不同专业，如右表所示：
这时这名同学从中选择一个专业，共有多少种选择？
A大学 B大学 C大学
生物学 数学 教育学
化学 会计学 心理学
医学 经济学
物理学 法学
工程学
解：因为3所大学没有一个专业是相同的，所以根据分类加法
计数原理，这名同学可能的专业选择种数为N=5+4+2=11.
小结：如果完成一件事有三类不同的方案，在第1类方案中有
m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3
类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+m3
种不同的方法.
延伸：如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+……+mn种不同的方法.
你能举几个生活中可以运用分类加法计数原理的计数例子吗
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每类能否单独完成
如何计数
思考2：用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
注意：树状图是解决计数问题常用的方法.
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
给一个座位编号
怎么去做这件事情
先选一个字母，再选一个数字
每步骤能否单独完成
不能，关键词是“和”
如何计数
6×9=54（种）
字母
A
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
得到的号码
A1
A7
A5
A9
A4
A2
A3
A6
A8
你能概括出上述计数过程的基本环节吗？
（1）确定分步标准，根据问题条件分为先确定字母，后确定数字两步
（2）分别计算各步方法个数
（3）各步方法的个数相乘，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
注意：无论第一步采用哪种方法，与之对应的第二步都有相同的方法数.
例2 某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每步骤能否单独完成
如何计数
选男生和女生各一名
先从男生中选一名，再从女生中选一名
不能，关键词是“和”
30×24=720（种）
变式 某班有男生30名，女生24名以及任课老师6名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛以及选出1名任课老师为比赛学生加油，共有多少种不同的选法？
解：这里要完成的事情是“选男生，女生以及任课老师各1名”，可以分3个步骤：第一步，选男生，有30种选法；第二步，选女生，有24种选法；第三步，选任课老师，有6种选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N=30×24×6=4320.
小结：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步中有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3种不同的方法.
延伸：如果完成一件事需要n个步骤，做每一步分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×……×mn种不同的方法.
你能举几个生活中可以运用分步乘法计数原理的计数例子吗
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每步骤能否单独完成
如何计数
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每类能否单独完成
如何计数
4+3+2=9（种）
从书架上取1本书
从第一层或第二层或第三层中挑选一本书
能够，关键词是“或”
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每步骤能否单独完成
如何计数
4×3×2=24（种）
从书架上取3本书
先从第一层挑1本书
再从第二层挑1本书
最后从第三层挑1本书
不能，表达“和”的意思
变式 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从中任取2本不同学科的书，有多少种不同取法？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每类能否单独完成
如何计数
4×3+4×2+3×2=26（种）
从书架上取2本不同学科的书
挑选计算机书和文艺书各1本
或挑选计算机书和体育书各1本
或挑选文艺书和体育书各1本
能够，但每一类内部又要分步完成
回顾问题 近期学校新购置了一批课桌，需要对每张课桌设定一个编号（由1个字母和2个数字组成），编号的第一个位置要求是字母，后两个位置是数字（可以重复），你觉得有多少种不同的编号？
问题分析 具体问题
要做一件什么事情
怎么去做这件事情
每步骤能否单独完成
如何计数
26×10×10=2600（种）
设定一个编号
先第一个位置选字母
再第二个位置选数字
最后第三个位置选数字
不能，关键词是“和”
课堂小结
1.分类加法计数原理：
2.分步乘法计数原理：
如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+……+mn种不同的方法.
如果完成一件事需要n个步骤，做每一步分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×……×mn种不同的方法.
分类完成
相加
分步完成
相乘
在运用两个计数原理解决问题之前，最重要的是要在开始计算之前仔细分析要完成的“一件事”是什么？怎么完成？
不重不漏
步骤完整
同学们，再见