6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理：例4~例6 课后练习（含解析）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第三册人教A版

作业练习
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 春季
课题 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（例4-例6）
教科书 书 名：选择性必修第三册教材 出版社：人民教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
高二（16）班 1
作业练习
基础题： 1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有(　　) A．24种 B．9种 C．3种 D．26种 2．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为(　　) A．8 B．6 C．5 D．3 3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　) A．40 B．16 C．13 D．10 4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有(　　) A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 5．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 6．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 7．某小区有4个门，规定只能从主门进，从任一个门出，则共有不同走法________种． 8．用1,2,3这3个数字组成的没有重复数字的整数有________个． 9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ 10．用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 能力提升 11．小张与其3位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　) A．27种 B．36种 C．54种 D．81种 12．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有(　　) A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 13．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成的不同的直线有(　　) A．18条 B．20条 C．25条 D．10条 14．(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　) A．可表示3个不同的圆 B．可表示6个不同的椭圆 C．可表示3个不同的双曲线 D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个 15.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　) A．26 B．24 C．20 D．19 16．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}． (1)写出这个数列的前11项； (2)这个数列共有多少项？ (3)若an＝341，求n. 参考答案 基础题： 1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有(　　) A．24种 B．9种 C．3种 D．26种 答案　B 解析　不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选1本阅读，共有9种选法． 2．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为(　　) A．8 B．6 C．5 D．3 答案　B 解析　从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通，有2条线路；第二步，后一个并联电路接通，有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6. 3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　) A．40 B．16 C．13 D．10 答案　C 解析　分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面． 4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有(　　) A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 答案　C 解析　完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图， 从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线． 5．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 答案　C 解析　要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数． 6．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 答案　B 解析　由已知得ab≤1. 当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能； 当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能． ∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 7．某小区有4个门，规定只能从主门进，从任一个门出，则共有不同走法________种． 答案　4 解析　由分步乘法计数原理得，共有1×4＝4(种)不同走法． 8．用1,2,3这3个数字组成的没有重复数字的整数有________个． 答案　15 解析　分三类： 第一类为一位整数，有3个； 第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个； 第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个． ∴组成的没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)． 9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ 解　(1)选1人，可分3类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法． 共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法． (2)选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法． 共有3×8×5＝120(种)不同的选法． 10．用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 解　分三类： 第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3 210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个． 由分类加法计数原理，共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”． 能力提升 11．小张与其3位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　) A．27种 B．36种 C．54种 D．81种 答案　C 解析　小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，根据分步乘法计数原理，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法． 12．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有(　　) A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 答案　D 解析　把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4＝64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法，故满足条件的分配方案有64－4＝60(种)． 13．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成的不同的直线有(　　) A．18条 B．20条 C．25条 D．10条 答案　A 解析　第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与当A＝2，B＝4时所得直线是相同的；当A＝2，B＝1时，与当A＝4，B＝2时所得直线是相同的，故共有5×4－2＝18(条)． 14．(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　) A．可表示3个不同的圆 B．可表示6个不同的椭圆 C．可表示3个不同的双曲线 D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个 答案　ABD 解析　当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＋＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确，D正确；当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6(个)，选项C错误． 15.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　) A．26 B．24 C．20 D．19 答案　D 解析　因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19. 16．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}． (1)写出这个数列的前11项； (2)这个数列共有多少项？ (3)若an＝341，求n. 解　(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)． (3)比an＝341小的数有两类： ① 1××2××
② 31×32×33×
共有2×4×4＋1×3×4＝44(项)． 所以n＝44＋1＝45(项)．