1.3勾股定理的应用—数学北师大版(2012)八年级上册随堂小练
1.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何.”(丈、尺是长度单位，1丈尺)其大意为有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少？则水深为( )
A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺
2.我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何 ”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少 ”根据题意，求得绳索的长度是( )
A.尺 B.9尺 C.12尺 D.尺
3.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是( )
A. B. C. D.
4.国庆假期，小众与同学去玩探宝游戏，按照探宝图(如图)，他们从门口A处出发先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再向北走后往东拐，仅走了，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )
A. B. C. D.
5.如图，已知树（垂直于地面）上的点B处（米）有两只松鼠，为抢到A处（点A，E在同一水平地面上，米）的坚果，一只松鼠沿到达点A处，另一只松鼠沿到达点A处.若两只松鼠经过的路程相等，则树的高为( )
A.6.5米 B.7.0米 C.7.5米 D.8米
6.如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处，则旗杆的高度为____________m.
7.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了________米.
8.如图，将一架长梯斜靠在一竖直的墙上，梯子的顶端在墙的最高处，这时梯子的底端恰好落在地面上的点C处，如果将梯子顶端A沿墙下滑到点D处，那么梯子的底端C也外移到地面的点E处，如果，米，求墙的高度.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设水深为h尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理，得，解得，所以水深为12尺，故选C.
2.答案：D
解析：设木柱长度为x尺，则绳索长度为尺，
根据题意可得：，
解得：.
，
故绳索长度为尺.
故选：D.
3.答案：B
解析：由题意可知，，
.
设的长为，则，
所以.
在直角中，，即，
解得：.
故选：B.
4.答案：D
解析：如图，过点B作，垂足为C，延长ND交AC于M.观察图形可知，.在中，，所以，即门口A到藏宝点B的直线距离是.
5.答案：C
解析：设BF为x m，则，
由题意知：，
两只松鼠所经过的路程相等，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得，
（m）.
所以这棵树高7.5米.
故选：C.
6.答案：8
解析：设旗杆的高为x米，则绳子长为米，
由勾股定理得：，解得；
即旗杆的高度是8米；
故答案为：8.
7.答案：9
解析：在中，，米，米，，米，米，，米，米，即船向岸边移动了9米，故答案为9.
8.答案：墙高4米
解析：设米，米，米，
根据题意得，
，
，
解得，即（米），
即墙高4米.1.2一定是直角三角形吗—数学北师大版(2012)八年级上册随堂小练
1.下列各组数：
①12，16，20；
②13，5，12；
③2，2，3；
④7，24，25.
其中勾股数有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.若中，，，的对边分别记为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是( )
A.是直角三角形，且为直角
B.是直角三角形，且为直角
C.是直角三角形，且为直角
D.不是直角三角形
3.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是400m/min，甲客轮用15min到达A处，乙客轮用20min到达B处.若A、B两处的直线距离为10000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )
A.北偏西30°方向 B.南偏西30°方向 C.南偏东60°方向 D.南偏东30°方向
4.在中，已知，，，则的面积为( )
A.136 B.68 C.120 D.60
5.如图，在正方形网格内，A，B，C，D四点都在小方格的格点上，则( )
A. B. C. D.
6.5，12，m是一组勾股数，则_________.
7.如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
8.如图，线段AB，BC，CD和BD都为，动点P从点A出发，沿以的速度运动到点D，动点Q从点D出发，沿以的速度运动到点A.若两点同时开始运动时，P，Q相距.试确定两点运动时，的形状.
答案以及解析
1.答案：C
解析：①，能构成直角三角形，是勾股数；②，能构成直角三角形，是勾股数；③，不能构成直角三角形，不是勾股数；④，能构成直角三角形，是勾股数.所以勾股数有①②④，共3组.故选C.
2.答案：A
解析：因为，所以，所以，所以是直角三角形，为直角.
3.答案：C
解析：由题意可得甲客轮航行的路程为（m），乙客轮航行的路程为（m），，甲、乙两艘客轮的航行路线呈垂直关系，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，乙客轮的航行方向可能是南偏东60°方向或北偏西60°方向.故选C.
4.答案：D
解析：因为，，，所以，，所以，所以，所以的面积为.故选D.
5.答案：B
解析：如图，作点B关于AC的对称点，连接，，则.设每个小方格的边长为1，则，，，所以，，所以是等腰直角三角形，所以，所以.故选B.
6.答案：13
解析：在直角三角形中，当12是最长边长时，，m的值不是整数，舍去；当m是最长边长时，，所以.
7.答案：45
解析：延长AP交格点于D，连接BD，
则，，
，
，
即为等腰直角三角形，
，
故答案为：45.
8.答案：两点运动时，是直角三角形
解析：运动时，动点P运动的路程为，
即点P运动到D点(点P与点D重合)，动点Q运动的路程为，
即点Q在BA上，且.
在中，，，，
因为，
所以是直角三角形，且，
所以，
所以两点运动时，是直角三角形.1.1探索勾股定理—数学北师大版(2012)八年级上册随堂小练
1.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4，6，18，则正方形B的面积为( )
A.8 B.9 C.10 D.12
2.美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，E是边上一点，且，.如果的面积为1，且，那么的面积为( )
A.1 B.2 C. D.5
3.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为a，b，斜边长为c)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是( )
A.甲 B.乙 C.甲，乙都可以 D.甲，乙都不可以
4.如图，一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与A点重合，折痕为，则的长为( )
A. B. C. D.5 cm
5.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为_____.
7.在中,,若,,则的长是______.
8.数学活动中，小明和同学动手拼图发现：两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形，可以拼成如图所示的直角梯形.
（1）请你用两种不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c之间有什么数量关系呢？请证明你的发现.
（2）若这个直角梯形的上下底之差为，高为，请计算一下的面积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：如图，由勾股定理得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积=正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积为，故选A.
2.答案：C
解析：的面积为1，
，即，
，即，
，即，
的面积.
故选：C.
3.答案：A
解析：甲同学的的方案：
大正方形的面积=小正方形的面积+直角三角形的面积，
，
，
，
因此甲同学的的方案可以证明勾股定理；
乙同学的的方案：
大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积，
，
得不到，
故选：A.
4.答案：C
解析：由折叠可知，设，则有，
在中，由勾股定理得：，即为，
解得：；
故选C.
5.答案：D
解析：与是直角三角形，，，
，
，
，
故选D.
6.答案：
解析：，，
，
，，
，即，
则可列方程为，
故答案为：.
7.答案：17
解析：∵在中,,,,
∴,
即,
解得.
故答案为：17.
8.答案：（1），证明见解析
（2）
解析：（1）利用梯形的面积公式计算为：；
用三个三角形的面积和计算为：，
，整理得；
（2）设上底长为x，则令下底长为，
高为，
，
，，
.
