1.2矩形的性质与判定—数学北师大版(2012)九年级上册随堂小练
1.如图,在矩形中,对角线,交于点,以下说法错误的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度是( )
A. B.1 C. D.
3.如图所示,O是矩形的对角线的中点,E为的中点.若,,则的周长为( )
A.10 B. C. D.14
4.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形的顶点、,点P为矩形内一点,且满足,则的最小值是( )
A. B. C.16 D.12
5.如图,矩形中,点E为边的中点,连接,过E作交于点F,连接,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且,则AD的长为________.
7.如图,在平行四边形中,对角线与交于点O.添加一个条件：______,则可判定四边形是矩形.
8.如图,菱形的对角线、相交于点O,过点D作且,连接交于点F,连接、.
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若菱形的边长为6,,求的长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：∵四边形是矩形,
∴,,,
∴A、B、C说法正确,不符合题意,
根据现有条件无法证明,
∴D说法错误,
故选D.
2.答案：A
解析：∵在中，点D为斜边中点，，
∴，
∵为的中位线，
∴，
故选：A.
3.答案：C
解析：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点,E点为AD中点,
∴,,,,
在中,,
在中,,
∴,
则的周长为：,
故选：C.
4.答案：A
解析：过点P作交、于点M、N,
∵,
∴,
即,
作O点关于的对称点,连接,则长即为的最小值；
则,
∴,
故选A.
5.答案：A
解析：延长,交的延长线于点G,如图所示：
在矩形中,,,
,
为边中点,
,
在和中,
,
∴,
,
,
垂直平分,
,
,
∵,
,
,
∵,
∴,
∵,
∴,
故选：A.
6.答案：
解析：四边形ABCD为矩形.
.
.
在直角三角形ABD中,,
.
由勾股定理可知
,
,
故答案为.
7.答案：(或)(答案不唯一,正确即可)
解析：若使变为矩形,可添加的条件是：
；(对角线相等的平行四边形是矩形)
等.(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
故答案为：或.
8.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：四边形是菱形,
,,
,,
四边形是平行四边形,
,平行四边形是矩形.
(2)在菱形中,,
,是等边三角形
,,
,
在中,
在矩形中,
在中,.1.1菱形的性质与判定—数学北师大版(2012)九年级上册随堂小练
1.已知菱形的两条对角线,，则菱形的面积为( )
A.48 B.40 C.24 D.20
2.如图，中，，将沿边BC翻折，得到的与拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3.如图,四边形为菱形,A、B两点的坐标分别是,,点C、D在坐标轴上,则菱形的周长等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
4.如图,在菱形中,对角线与相交于点O,,垂足为E,若,则的大小为( )
A.75° B.65° C.55° D.50°
5.巧巧同学最近在学烘焙，使用的其中一个糕点模具底面是有一内角为的菱形，如图所示，已知该模具底面边长是，向内注入足量的材料，生产出的糕点底面积是( )
A. B. C. D.
6.如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是__________.（写出一个即可）
7.如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到BC的距离为___________.
8.如图，点E，F分别在的边AB，BC上，，连接DE，DF.请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形.
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明为菱形.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由已知可得：
菱形ABCD的面积为
故选：C.
2.答案：B
解析：由翻折可得，，，，根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形.故选B.
3.答案：C
解析：四边形为菱形,,,
,,,,
,
由,
,
菱形的周长为8.
故选C.
4.答案：B
解析：∵菱形中,对角线与相交于点O,
∴,,
∵,
∴,
∴.
故选：B.
5.答案：D
解析：根据题意，作出图形，如图所示：
由题意设菱形中，，则是等边三角形，
，
在菱形中，，且由菱形对角线平分对角得到，
在中，，，，则，
由勾股定理可得，
，
，
故选：D.
6.答案：（答案不唯一）
解析：这个条件可以是，理由如下：由平移的性质得，，四边形ABED是平行四边形.又，平行四边形ABED是菱形，故答案为（答案不唯一）.
7.答案：2
解析：在菱形ABCD中，BD平分，
点O在BD上，点O到AB的距离为2，
点O到BC的距离为2.
8.答案：（1）①（或③）
（2）见解析
解析：（1）添加的条件是（或），故答案为①（或③）.
（2）证明：添加①.四边形ABCD是平行四边形，.
在和中，
，，
为菱形.
添加③.四边形ABCD是平行四边形，
.
在和中，
，，
为菱形.1.3正方形的性质与判定—数学北师大版(2012)九年级上册随堂小练
1.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于( )
A. B. C. D.
2.关于四边形对角线的性质,下列描述错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直
C.菱形的每一条对角线平分一组对角 D.正方形的对角线相等
3.如图，是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.如图,在正方形中,点E,F分别是,上的点,,相交于点M.点N是的中点,若,,则的长为( )
A. B. C.2 D.
5.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且,AE、BF相交于点O,下列结论：
(1)；(2)；(3)；(4)中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图，菱形的对角线与交于点O，请你添加一个条件使它是正方形，你添加的条件是______.
7.如图,在边长为2的正方形中,E,F分别是、上的动点,M、N分别是、的中点,则的最大值为_______.
8.如图,点M,N分别在正方形的边,上,且,把绕点A顺时针旋转得到.
(1)求证：.
(2)若,,求正方形的边长.
答案以及解析
1.答案：B
解析：是正方形的对角线，
，
是菱形的对角线，
.
故选：B.
2.答案：B
解析：A、平行四边形的对角线互相平分,正确,本选项不符合题意.
B、矩形的对角线相等且平分但是不互相垂直,本选项说法错误,符合题意.
C、菱形的每一条对角线平分一组对角,正确,本选项不符合题意.
D、正方形的对角线相等,错误,本选项不符合题意.
故选：B.
3.答案：A
解析：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：A.
4.答案：B
解析：∵,,
∴正方形的边长为3,
在中,由勾股定理得,
∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵点N是的中点,即为斜边上的中线,
∴,
故选：B.
5.答案：B
解析：∵四边形ABCD为正方形,
∴,,
而,
∴,
在和中
∴,
∴,所以(1)正确；
∴,
而,
∴,
∴,
∴,所以(2)正确；
连接BE,
∵,
∴,
而,
∴,所以(3)错误；
∵,
∴,
∴,
∴,所以(4)正确.
故选：B.
6.答案：（答案不唯一）
解析：根据有一个内角为的菱形是正方形可知添加的条件（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）.
7.答案：
解析：解析如图所示,连接AE,
M,N分别是EF,AF的中点,
是的中位线,
,
四边形ABCD是正方形,
,
,
当BE最长时,AE最长,此时MN最长,
点E是BC上的动点,当点E和点C重合时,BE最长,此时,,
的最大值为.
8.答案：(1)证明见解析
(2)6
解析：(1)由旋转的性质得：,
四边形ABCD是正方形
,即
,即
在和中,
；
(2)设正方形的边长为x,则
,
,
由旋转的性质得：
由(1)已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中,,即
解得或(不符题意,舍去)
故正方形的边长为6.
