高中数学选修2第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试（含解析）

高中数学选修2第五章
一、单选题
1．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（　　）
A．2π B．π C． D．
2．若点是曲线上任意一点，则点到直线：的距离的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3．函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是(　　)
A． B．
C． D．
4．根据公式，的值所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数，，若关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．函数 ，方程 有4个不相等实根，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对任意的x∈R，函数f(x)=x3＋ax2+7ax不存在极值点的充分不必要条件是（　　）
A．0≤a≤21 B．1≤a≤20 C．a<0 D．a=21
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（　　）
A．函数 存在极大值和极小值
B．函数 不存在最小值与最大值
C．当 时，函数 最大值为
D．当 时，函数 最小值为
11．已知函数，则下面说法正确的是（　　）
A．存在实数，使有最小值且最小值小于0
B．对任意实数，有最小值且最小值不小于0
C．存在正实数和实数，使在上递减，在上递增
D．对任意负实数，存在实数，使在上递减，在上递增
12．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（　　）
A．0 B． C． D．
三、填空题
13．函数在区间的最小值是　 　.
14．设曲线y=eax+sine在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　 　．
15．关于 的方程 在区间 上有两个实根，则实数 的最小值是　 　.
16．已知函数，若函数有三个极值点，若，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题
17．求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .
18．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
（1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
19．已知函数
（1）若函数存在两个极值点，求的取值范围；
（2）若在恒成立，求的最小值.
20．设fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求fn′（2）；
（Ⅱ）证明：fn（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣＜（）n．
21．已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a为参数．
（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
22．设函数 （ ， 为自然对数的底数）.
（1）证明：当 时， ；
（2）讨论 的单调性；
（3）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
2．B
解：已知函数，
可得，
直线的斜率为-1，
令即，可得，
因为，可得，则，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
3．D
。当时，，函数的图象只经过第一、二象限；当时，函数的极大值为，极小值为，若函数的图象经过四个象限，则需，，这与矛盾；当时，函数的极小值为，极大值为，若函数的图象经过四个象限，则需，，解得，综上，函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是。
4．B
5．D
显然，
由，得，得，
得，
令，，则，
所以函数区间内为增函数，
所以可化为，即，即，
所以关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，
结合图形可知，满足题意的整数解只能是和，
所以，即.
6．C
由题意知函数 的定义域为 ，
.
因为 恰有两个极值点，所以 恰有两个不同的解，显然 是它的一个解，另一个解由方程 确定，且这个解不等于1.
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，从而 ，且 .所以，当 且 时， 恰有两个极值点，即实数 的取值范围是 .
7．B
构造函数 ，
因为 为奇函数，所以 =xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，
因为当 时， ，
单调递减，x＞0时，函数F(x)单调递增，
因为f(-1)=0，所以F(-1)=(-1)f(-1)=0.F(1)=0.
因为f(x)＞0，所以 ，
所以 ，
所以x＞1或-1＜x＜0.
8．C
根据题意画出函数图象：
设 有两个根 ，每个t值对应两个x值，故情况为
当属于情况一时，将0代入方程得到m=1，此时二次方程 的根是确定的一个为0，一个为2，不符合题意；
当属于情况二时，
9．B,D
解：因为函数f(x)＝x3+ax2+7ax不存在极值点，
所以f'(x)=3x2+2ax+7a≥0恒成立，
所以 =4a2-84a≤0 ，
解得 0≤a≤21 ，
所以函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是0≤a≤21，
则函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的 充分不必要条件是0≤a≤20或a=21.
10．A,B
∵ ，∴ ，
当x∈（1，2）时， ，f（x）在（1，2）上单调递减，
当x∈（-∞，1）∪（2，+∞）时， ，f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上单调递增，
∴当x=2时，f（x）取到极小值，当x=1时f（x）取到极大值，A符合题意；
又当x→-∞时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→+∞，
故函数f（x）不存在最小值与最大值，B符合题意；
∵f（1）=e， ，∴f（1）-f（3）= ，
又f（x）在[0，1]，[2，3]上单调递增，在（1，2）单调递减，
∴当x∈[0，3]时，函数f（x）最大值为 ，C不符合题意；
，D不符合题意；
11．A,C
，令，则，
当时，恒成立，即在为增函数，有且只有一个实根，且时，，递减，时，，递增，是极小值点，也是最小值点．C显然正确．
时，，，，，
，B不符合题意；
当时，，而不是最小值点（因为），因此存在，使得，A符合题意；
由得，，或时，，时，，即在和上递增，在上递减，
所以极大值＝，当时，极大值，极小值＝，
因此即在，，上各有一个零点，从小到大依次为，在，上，递减，在，上，递增，D不符合题意．
12．B,D
解：由题意知函数f(x)上存在两个点关于原点对称，即(x>0)存在两实数根，方程有两个实数根，
即y=-a与g(x)=有两个交点，
g'(x)=，则x=1，g(x)在01上单调递减，gmax=g(1)=，
当x→+∞时g(x)→0，故当0<-a<时恰有两个交点，即-13．-16
由，得，
令，解得，
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
又，，
所以函数的最小值为，
14．2
解：∵y=eax+sine，
∴y′=aeax
∴曲线y=eax在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=a（x﹣0），即ax﹣y+1=0
∵直线ax﹣y+1=0与直线x+2y+1=0垂直
∴﹣ a=﹣1，即a=2．
15．
解： 可变形为：k＝ ，
设f（x）＝ ，x∈ ，
f′（x）＝ ，
设g（x）＝1﹣2lnx﹣2x，x∈
g′（x）＝ ＜0，
即y＝g（x）为减函数，
， ，所以 ，使 ；
即y＝f（x）在 为增函数，在 为减函数，
又 ， ；
关于 的方程 在区间 上有两个实根，等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k的交点个数有两个，
16．（0，ln23）
17．（1）解：f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.
（2）解：f(x)= -2x=1- -2x,则f'(x)= -2xln 2
18．（1）解：∵f′(x)＝3x2－8x＋5，
∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．
（2）解：设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．
19．（1）解：因为，
所以
因为函数存在两个极值点，
所以有两个不同的解，
所以，解得或
（2）解：在恒成立，即恒成立，
令，则
因为，
设，
在上都递减，
所以在上递减，
所以，当时，，此时，在上递增，
当时，，此时，在上递减，
所以，
所以， 即
20．解：（Ⅰ）由已知，f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1，
所以，①
则2f′n（2）=2+2×22+3×23+…+n2n，②，
①﹣②得﹣f′n（2）=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n 2n==（1﹣n）2n﹣1，
所以．
（Ⅱ）因为f（0）=﹣1＜0，fn（）=﹣1=1﹣2×≥1﹣2×＞0，
所以fn（x）在（0，）内至少存在一个零点，
又f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1＞0，所以fn（x）在（0，）内单调递增，
所以fn（x）在（0，）内有且仅有一个零点an，由于fn（x）=，
所以0=fn（an）=，
所以，故，
所以0＜．
21．（1）解：当a=0时，f（x）=lnx，f（1）=0，
求导f′（x）= ，f′（1）=1，
f（x）在x=1处的切线斜率k=1，则y﹣0=1×（x﹣1），整理得：y=x﹣1，；
∴函数f（x）在x=1处的切线方程y=x﹣1
（2）解：f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），定义域为（0，+∞） ，设g（x）=2ax2﹣3ax+1，
①当a=0时，g（x）=1，故f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以无极值点
②当a＞0时，△=9a2﹣8a，
若0＜a≤ 时△≤0，g（x）≥0，故f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上递增，所以无极值点．
若a＞ 时△＞0，设g（x）=0的两个不相等的实数根为x1，x2，且x1＜x2，
且 ，而g（0）=1＞0，则 ，
所以当x∈（0，x1），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2），g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x2，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以此时函数f（x）有两个极值点；
③当a＜0时△＞0，设g（x）=0的两个不相等的实数根为x1，x2，且x1＜x2，
但g（0）=1＞0，所以x1＜0＜x2，
所以当x∈（0，x2），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递増；
当x∈（x2，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以此时函数f（x）只有一个极值点．
综上得：
当a＜0时f（x）有一个极值点；
当0≤a≤ 时f（x）的无极值点；
当a＞ 时，f（x）的有两个极值点
（3）解：方法一：当0≤a≤ 时，由（2）知f（x）在[1，+∞）上递增，
所以f（x）≥f（1）=0，符合题意；
当 ＜a≤1时，g（1）=1﹣a≥0，x2≤1，f（x）在[1，+∞）上递增，所以f（x）≥f（1）=0，符合题意；
当a＞1时，g（1）=1﹣a＜0，x2＞1，所以函数f（x）在（1，x2）上递减，所以f（x）＜f（1）=0，不符合题意；
当a＜0时，由（1）知lnx≤x﹣1，于是f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）≤x﹣1+a（x2﹣3x+2）
当 时，x﹣1+a（x2﹣3x+2）＜0，此时f（x）＜0，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是0≤a≤1．
方法二：g（x）=2ax2﹣3ax+1，注意到对称轴为 ，g（1）=1﹣a，
当0≤a≤1时，可得g（x）≥0，故f（x）在[1，+∞）上递增，所以f（x）≥f（1）=0，符合题意；
当a＞1时，g（1）=1﹣a＜0，x2＞1，所以函数f（x）在（1，x2）上递减，此时f（x）＜f（1）=0，不符合题意；
当a＜0时，由（1）知lnx≤x﹣1，于是f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）≤x﹣1+a（x2﹣3x+2）
当 时，x﹣1+a（x2﹣3x+2）＜0，此时f（x）＜0，不符合题意．
综上所述，s的取值范围是0≤a≤1
22．（1）证明： ， 令 ，则 当 时， ，所以 在 上单调递增，又 ，所以 ， 从而 ， .
（2）解： , 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时，由 得 . 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增.
（3）解：由（1）知，当 时， 当 ， 时， 故当 在区间 内恒成立时，必有 当 时， 在 上单调递减， ，而 ， 所以此时 在区间 内不恒成立 当 时，令 （ ） 当 时， ， 因此， 在区间 上单调递增， 又因为 ，所以当 时， ，即 恒成立. 综上， 的取值范围为 .
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