高中数学选修一综合练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学选修一综合练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 268.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-02 18:44:24 | ||
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文档简介
高中数学选修一综合
一、单选题
1．椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线 被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为 ，则这个圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 ，过点 的直线 与 的图象有三个不同的交点，则直线 斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切
5．已知抛物线 的准线方程为 ， 的顶点 在抛物线上， 、 两点在直线 上，若 ，则 面积的最小值为（ ）
A．10 B．8 C．1 D．2
6．在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则t=（ ）
A．1 B．3 C． D．
7．P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆 和 上的点，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（ ）
① 若，则；② 若，则的值为1；③的面积；④ 若，则当时，取得最小值2．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、多选题
9．关于点，下列说法正确的是（ ）
A．点P关于Oxy平面的对称点的坐标为
B．点P关于x轴的对称点的坐标为
C．点P关于Oyz平面的对称点的坐标为
D．点P关于y轴的对称点的坐标为
10．如图，在四边形ABCD中，，则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
11．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左顶点为A，右焦点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D，若，则C的离心率等于（ ）
A． B．
C． D．
12．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
三、填空题
13．已知圆 内有一点 ，AB为过点P且倾斜角为 的弦，则 ．
14．已知点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，则 的最小值是 .
15．若 ，且 ，则 的最大值为 .
16．如图，直线 平面 ，垂足为 ，三棱锥 的底面边长和侧棱长都为4， 在平面 内， 是直线 上的动点，则点 到平面 的距离为 ，点 到直线 的距离的最大值为 .
四、解答题
17．已知抛物线 上的点 到焦点F的距离为 .
（1）求 的值；
（2）过点 作直线 交抛物线 于 两点，且点 是线段 的中点，求直线 方程.
18．如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．
（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；
（2）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P﹣ED﹣A的平面角大小为 ．试确定点E的位置．
19．如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知，
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，.
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线过定点；
（3）求面积的最大值.
22．已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
参考答案
1．C
2．A
3．C
4．B
圆，即，表示以为圆心、半径等于3的圆．
圆心到直线的距离．
再根据，
而的判别式Δ，
故有，即，故直线和圆相交，
5．D
因为抛物线 的准线方程为
所以 ,解得
即抛物线方程为
因为 在抛物线上,设 ,直线 化为
则点 到直线 的距离
所以当 时,
则由 可得 面积的最小值为
6．A
因为，
所以，即．
因为M是平面ABC上一点，所以，所以．
7．D
利用已知条件，易得双曲线 的焦点分别为 (-5，0)， (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、 三点共线以及P与N、 三点共线时所求的值最大，此时 = =6+3=9。
8．D
由于椭圆和双曲线有公共的焦点，
c相同，
，
①，
，
，
故①正确.
②，
点P既在椭圆上，又在双曲线上，
，
，
，
故②错误.
③ 由题意知，，
联立方程组，求，
，
，
，
，
，
故③正确.
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，取“=”.
故④错误.
9．A,C,D
求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点关于y轴的对称点为，关于平面的对称点是，点关于轴的对称点为，关于平面的对称点是
A选顶点P关于Oxy平面的对称点的坐标为，A符合题意；
B选顶点P关于x轴的对称点的坐标为，B不符合题意；
C选顶点P关于Oyz平面的对称点的坐标为，C符合题意；
D选顶点P关于y轴的对称点的坐标为，D符合题意．
10．A,C,D
解：A、因为，所以，即 ，故A正确；
B、连接AC，在中，过点C作ＣＨAB，
因为，，所以CH=HB=1，所以AH=AB-HB=1，所以，故B错误；
C、因为，所以，在四边形中，因为，所以四点共圆，连接，所以，所以，故C正确；
D、的面积，故D正确.
11．B,C,D
解：A.设C的半焦距为c，离心率为e，则有，，
渐近线方程为，令得，
不妨设，，
当时，故，即，
故∽，所以，
可知，，A错误；
B和C，因为∽，所以，
故，
因为∽，所以，故，
则，
，B正确，C正确；
D，，，，且，
故，又因为，故，
即，解得，D正确.
12．A,B,C
由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，A符合题意；
当时，，，所以的取值范围是，即，B符合题意；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，C符合题意；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，D不正确．
13．
14．
x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，
即为原点到该直线的距离平方d2，
可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d ．
∴ 的最小值为 ，
15．
令 ，即 表示斜率为 的平行直线系，
而方程 表示圆心在原点，半径为 的圆，
而 同时满足 与 ，即直线 与圆 有公共点，于是得 ，即 ，解得 ，即 ，
所以 的最大值为 。
16．；
边长为 ，则中线长为 ，
点 到平面 的距离为 ，
点 是以 为直径的球面上的点，
所以 到直线 的距离为以 为直径的球面上的点到 的距离，
最大距离为分别过 和 的两个平行平面间距离加半径.
又三棱锥 的底面边长和侧棱长都为4，
以下求过 和 的两个平行平面间距离，
分别取 中点 ，连 ，
则 ，同理 ，
分别过 做 ，
直线 确定平面 ，直线 确定平面 ，
则 ，同理 ，
为所求， ，
，
所以 到直线 最大距离为 .
17．（1）解：由抛物线焦半径公式知： ，解得： ，
， ，解得：
（2）解：设 ， ，
则 ，两式作差得： ，
，
为 的中点， ， ，
直线 的方程为： ，即
18．（1）证明：以为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
不妨设AP=a，则P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），
从而 ，
于是 =（1，1，﹣a） （1，﹣1，0）=0，
所以 ，所以PE⊥DE
（2）解：设BE=x，则P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），
则
向量 为平面AED的一个法向量．设平面PDE的法向量为 ，
则应有 即 解之得c=2b，令b=1，则c=2，a=2﹣x，
从而 ，
依题意 = ，即 ，解之得 （舍去），
所以点E在线段BC上距B点的 处
19．（1）证明： 在直三棱柱中，平面，
因为平面，
所以 ．因为 ， ，平面，
所以 平面，因为平面，
所以 ．又因为 ，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知知 两两垂直，
则以点A为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，， ，
因为 ，∴ ，
故，
由（1）知平面
故平面的一个法向量为 ，，
设直线与平面所成角为，
则.
20．（1）解：由抛物线定义可得：，解得，则抛物线的方程为；
因为点在抛物线上，所以，解得；
（2）解：已知如图所示：
设点的坐标为边上的高为，的面积为，
即，解得，
直线的方程是，由点到直线的距离公式可得：，
化简得，因为点在抛物线上，所以，
代入条件可得，
则或，
解得或，
代入拋物线方程求得或或
综上所述，点的坐标有三个可能的值：；
（3）解：不存在，理由如下：
因为由（1）（2）知点，则的斜率为，
所以平行于的两个点分别记为，其斜率，
所以可得
则的中点，
若，则点在以为圆心，为半径的圆上，
到准线的距离等于，因为，所以以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件.
化简得：，由于点在抛物线上，即，
代入条件可得：，
可以得到或，
解这个方程可以得到或，
代入拋物线方程可以得到：或或
综上所述，点的坐标有三个可能的值：
21．（1）解：因为椭圆经过点，
所以，因为与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，
所以，
所以，解得，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立，消去得，
设，则，
所以，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
当时，所在直线为，
当时，，直线的方程为，
整理得，
令，可得，即有，
所以直线过定点，且为.
（3）解：方法一：面积为.令，
由，，在上，∴递增，则在上递减，所以当，即时，取得最大值为，
则面积的最大值为.
方法二：，
则面积，
令，则，当且仅当，
即时，面积的最大值为.
所以面积的最大值为.
22．（1）解：因为是面积为的等边三角形，所以，
所以所以椭圆的方程为，所以离心率.
（2）解：已知如图所示：
因为双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程可得：，即，
所以.
（3）解：由题易知，则联立直线方程和抛物线方程可得，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
1 / 1
一、单选题
1．椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线 被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为 ，则这个圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 ，过点 的直线 与 的图象有三个不同的交点，则直线 斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切
5．已知抛物线 的准线方程为 ， 的顶点 在抛物线上， 、 两点在直线 上，若 ，则 面积的最小值为（ ）
A．10 B．8 C．1 D．2
6．在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则t=（ ）
A．1 B．3 C． D．
7．P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆 和 上的点，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（ ）
① 若，则；② 若，则的值为1；③的面积；④ 若，则当时，取得最小值2．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、多选题
9．关于点，下列说法正确的是（ ）
A．点P关于Oxy平面的对称点的坐标为
B．点P关于x轴的对称点的坐标为
C．点P关于Oyz平面的对称点的坐标为
D．点P关于y轴的对称点的坐标为
10．如图，在四边形ABCD中，，则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
11．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左顶点为A，右焦点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D，若，则C的离心率等于（ ）
A． B．
C． D．
12．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
三、填空题
13．已知圆 内有一点 ，AB为过点P且倾斜角为 的弦，则 ．
14．已知点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，则 的最小值是 .
15．若 ，且 ，则 的最大值为 .
16．如图，直线 平面 ，垂足为 ，三棱锥 的底面边长和侧棱长都为4， 在平面 内， 是直线 上的动点，则点 到平面 的距离为 ，点 到直线 的距离的最大值为 .
四、解答题
17．已知抛物线 上的点 到焦点F的距离为 .
（1）求 的值；
（2）过点 作直线 交抛物线 于 两点，且点 是线段 的中点，求直线 方程.
18．如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．
（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；
（2）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P﹣ED﹣A的平面角大小为 ．试确定点E的位置．
19．如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知，
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，.
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线过定点；
（3）求面积的最大值.
22．已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
参考答案
1．C
2．A
3．C
4．B
圆，即，表示以为圆心、半径等于3的圆．
圆心到直线的距离．
再根据，
而的判别式Δ，
故有，即，故直线和圆相交，
5．D
因为抛物线 的准线方程为
所以 ,解得
即抛物线方程为
因为 在抛物线上,设 ,直线 化为
则点 到直线 的距离
所以当 时,
则由 可得 面积的最小值为
6．A
因为，
所以，即．
因为M是平面ABC上一点，所以，所以．
7．D
利用已知条件，易得双曲线 的焦点分别为 (-5，0)， (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、 三点共线以及P与N、 三点共线时所求的值最大，此时 = =6+3=9。
8．D
由于椭圆和双曲线有公共的焦点，
c相同，
，
①，
，
，
故①正确.
②，
点P既在椭圆上，又在双曲线上，
，
，
，
故②错误.
③ 由题意知，，
联立方程组，求，
，
，
，
，
，
故③正确.
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，取“=”.
故④错误.
9．A,C,D
求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点关于y轴的对称点为，关于平面的对称点是，点关于轴的对称点为，关于平面的对称点是
A选顶点P关于Oxy平面的对称点的坐标为，A符合题意；
B选顶点P关于x轴的对称点的坐标为，B不符合题意；
C选顶点P关于Oyz平面的对称点的坐标为，C符合题意；
D选顶点P关于y轴的对称点的坐标为，D符合题意．
10．A,C,D
解：A、因为，所以，即 ，故A正确；
B、连接AC，在中，过点C作ＣＨAB，
因为，，所以CH=HB=1，所以AH=AB-HB=1，所以，故B错误；
C、因为，所以，在四边形中，因为，所以四点共圆，连接，所以，所以，故C正确；
D、的面积，故D正确.
11．B,C,D
解：A.设C的半焦距为c，离心率为e，则有，，
渐近线方程为，令得，
不妨设，，
当时，故，即，
故∽，所以，
可知，，A错误；
B和C，因为∽，所以，
故，
因为∽，所以，故，
则，
，B正确，C正确；
D，，，，且，
故，又因为，故，
即，解得，D正确.
12．A,B,C
由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，A符合题意；
当时，，，所以的取值范围是，即，B符合题意；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，C符合题意；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，D不正确．
13．
14．
x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，
即为原点到该直线的距离平方d2，
可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d ．
∴ 的最小值为 ，
15．
令 ，即 表示斜率为 的平行直线系，
而方程 表示圆心在原点，半径为 的圆，
而 同时满足 与 ，即直线 与圆 有公共点，于是得 ，即 ，解得 ，即 ，
所以 的最大值为 。
16．；
边长为 ，则中线长为 ，
点 到平面 的距离为 ，
点 是以 为直径的球面上的点，
所以 到直线 的距离为以 为直径的球面上的点到 的距离，
最大距离为分别过 和 的两个平行平面间距离加半径.
又三棱锥 的底面边长和侧棱长都为4，
以下求过 和 的两个平行平面间距离，
分别取 中点 ，连 ，
则 ，同理 ，
分别过 做 ，
直线 确定平面 ，直线 确定平面 ，
则 ，同理 ，
为所求， ，
，
所以 到直线 最大距离为 .
17．（1）解：由抛物线焦半径公式知： ，解得： ，
， ，解得：
（2）解：设 ， ，
则 ，两式作差得： ，
，
为 的中点， ， ，
直线 的方程为： ，即
18．（1）证明：以为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
不妨设AP=a，则P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），
从而 ，
于是 =（1，1，﹣a） （1，﹣1，0）=0，
所以 ，所以PE⊥DE
（2）解：设BE=x，则P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），
则
向量 为平面AED的一个法向量．设平面PDE的法向量为 ，
则应有 即 解之得c=2b，令b=1，则c=2，a=2﹣x，
从而 ，
依题意 = ，即 ，解之得 （舍去），
所以点E在线段BC上距B点的 处
19．（1）证明： 在直三棱柱中，平面，
因为平面，
所以 ．因为 ， ，平面，
所以 平面，因为平面，
所以 ．又因为 ，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知知 两两垂直，
则以点A为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，， ，
因为 ，∴ ，
故，
由（1）知平面
故平面的一个法向量为 ，，
设直线与平面所成角为，
则.
20．（1）解：由抛物线定义可得：，解得，则抛物线的方程为；
因为点在抛物线上，所以，解得；
（2）解：已知如图所示：
设点的坐标为边上的高为，的面积为，
即，解得，
直线的方程是，由点到直线的距离公式可得：，
化简得，因为点在抛物线上，所以，
代入条件可得，
则或，
解得或，
代入拋物线方程求得或或
综上所述，点的坐标有三个可能的值：；
（3）解：不存在，理由如下：
因为由（1）（2）知点，则的斜率为，
所以平行于的两个点分别记为，其斜率，
所以可得
则的中点，
若，则点在以为圆心，为半径的圆上，
到准线的距离等于，因为，所以以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件.
化简得：，由于点在抛物线上，即，
代入条件可得：，
可以得到或，
解这个方程可以得到或，
代入拋物线方程可以得到：或或
综上所述，点的坐标有三个可能的值：
21．（1）解：因为椭圆经过点，
所以，因为与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，
所以，
所以，解得，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立，消去得，
设，则，
所以，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
当时，所在直线为，
当时，，直线的方程为，
整理得，
令，可得，即有，
所以直线过定点，且为.
（3）解：方法一：面积为.令，
由，，在上，∴递增，则在上递减，所以当，即时，取得最大值为，
则面积的最大值为.
方法二：，
则面积，
令，则，当且仅当，
即时，面积的最大值为.
所以面积的最大值为.
22．（1）解：因为是面积为的等边三角形，所以，
所以所以椭圆的方程为，所以离心率.
（2）解：已知如图所示：
因为双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程可得：，即，
所以.
（3）解：由题易知，则联立直线方程和抛物线方程可得，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
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