人教版2024-2025学年九年级数学上册 21.2.1 配方法课后提升练习（含答案）

人教版2024-2025学年九年级数学上册 21.2.1 配方法
课后提升练习
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B．
C． D．
2．把方程化为的形式，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为( )
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程，则配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若，则m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
6．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．方程x2+1=2x的根是（ ）
A．x1=1，x2=﹣1
B．x1=x2=1
C．x1=x2=﹣1
D．x1=1+，x2=1﹣
8．有理数，，满足，且，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
9．用配方法将方程=0变形，结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，则
④满足的正整数解共有25个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．一元二次方程配方化为，则的值为 ．
12．用配方法将方程变为的形式，则 ．
13．若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是 ．
14．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．解决问题：已知40是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式： ．
15．已知，，则 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)． (2)．
17．用配方法求一元二次方程（为常数，）的根．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程的一个根为1，求的值．
(2)若，求该方程的根．
19．阅读材料，并回答问题
下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程：
解：，
二次项系数化为1，得： 第一步；
移项，得： 第二步；
配方，得：，即 第三步；
由此可得： 第四步；
解得：， 第五步．
(1)“配方法”所依据的公式是______________；（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
(2)上面解答过程，从第_________步开始出现错误；
(3)写出正确的解答过程；
20．阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若，则．
完成问题：
（1）求的最小值；
（2）求的最大值；
（3）若实数m，n满足．求的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B B B B B A A
11．4
【分析】将配方后的式子展开，对照形式可得结果．
【详解】解：，
展开得：，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能理解配方法是解此题的关键，解一元二次方程有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
12．
【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
13．
【详解】∵a+b2=1，
∴b2=1 a，
∴a2+b2=a2+1 a=(a )2+，
∵(a 1)2 0，
∴(a 1)2+ ，
故答案为.
14．
【分析】根据题中的新定义确定出所求即可．
【详解】∵，
∴是“完美数”，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的化简求值．由条件得出，，再将方程去分母合并整理得，然后两边同时除以得，再利用配方法求得方程的解，注意舍去不合题意的解．
【详解】解：∵，∴，，
∵，
∴，即，
∴，
两边同时除以得，即，
配方得，即，
解得或，
∴或（舍去），
故答案为：．
16．(1)，
(2)原方程无解
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）两边同时乘以把方程转化成整式方程再求解，最后验根即可．
【详解】（1）解：
移项得，，
配方得，，
开方得，，
∴，；
（2）解：
两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
把代入得，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握解一元二次方程和分式方程的方法是解题的关键．
17．见解析
【分析】把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：
（x＋）2＝b2－4ac.
当b2－4ac＜0时，此方程无解；
当b2－4ac＝0时， x1＝x2＝－；
当b2－4ac＞0时， x＝
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程．
（1）将代入原方程即可求出m的值；
（2）根据配方法即可求出方程的根．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得：；
（2）解：原方程为：，
，
，
，
，
．
19．(1)完全平方公式
(2)三
(3)过程见解析，，
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程：
（1）根据配方法定义可得答案；
（2）根据配方法的步骤可知再把二次项系数化为1后，应该把方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，即加上1，而第三步加上的是4，据此可得答案；
（3）根据配方法的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：“配方法”所依据的公式是完全平方公式，
故答案为：完全平方公式；
（2）解：上面解答过程，从第三步开始出现错误的，原因是把二次项系数化为1后，应该把方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，即加上1，而第三步加上的是4，
故答案为：三；
（3）解：
解得，．
20．（1）-5；（2）（3）
【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；
（2）把原式化成，求最小值即可；
（3）根据已知得到，即或，代入求最值即可．
【详解】解：（1），因为，所以，所以，当时，原式的最小值为-5．
（2），
当取最小值时，原式最大，
由（1）可知，最小值为2，
此时的最大值为；
（3）∵，
∴，
，
或，
或，
=，
最大值是，的最大值为；
或=，
最大值是，的最大值为；
综上，的最大值为
【点睛】本题考查了配方法求最值，解题关键是熟练运用配方法求代数式的最值．