青岛版（六三制）数学八年级上册 5.6几何证明举例教案（共4课时）

几何证明举例
【课时安排】
4课时
【第一课时】
【教学目标】
1．证明并掌握“AAS”定理；会用“AAS”定理解决有关的问题。
2．知道全等三角形的性质：对应角平分线相等，对应中线相等，对应高相等；
并会证明这些结论。
3．掌握几何证明题思路、及命题证明的一般步骤和规范书写格式。
4．增强合作意识，提高逻辑思维能力，养成良好的学习习惯。
【教学重难点】
1．证明并掌握“AAS”定理；会用“AAS”定理解决有关的问题。
2．掌握几何证明题思路、及命题证明的一般步骤和规范书写格式。
【教学过程】
（一）前置练习，积累知识。
（1）全等三角形的性质：全等三角形的_____相等，_____相等。
（2）判定两个三角形全等的方法：_____、_____、_____、_____，其中_____、_____、_____都已作为基本事实。
（3）几何证明的过程一般包括三个步骤：_____，_____，_____。
知识点1：“AAS”定理：两角分别相等且其中一组等角的_____也相等的三角形全等。
知识点2：适当地添加辅助线：例1，通过添加辅助线构造两个_____三角形。
知识点3：全等三角形的性质：对应角平分线_____，对应中线_____，对应高_____。
（二）情境激趣，导入新课。
证明“AAS”定理：
两角分别________且其中一组等角的________也相等的三角形全等。
问题：
1．这个命题的条件是________________，结论是________________。
2．能根据题意画出题目中用到的图形吗？
3．能据图形和条件，把命题的条件用数学语言写成已知吗？把结论写成求证吗？
4．已知一边相等，再知道条件_____________可以用SSS来说明；或可以知道条件_______可以用ASA来说明全等。题目当中符合这两种判定方法吗？能根据题目已知两角对应相等，求出另外一个角相等，这样可以选择方法____________来证明。能总结证明“命题问题”的题目的一般步骤吗？_________________________。
（三）自主学习，合作探究。
1．典例精析
阅读课本例1，然后完成下列问题：
问题：图中有三角形吗？有全等三角形吗？已知什么条件可推全等？
已知：______________________
求证：______________________
证明：______________________
证明全等三角形对应边上的高相等，其他课下完成。
2．针对性训练，
（1）两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．两角和一边 B．两边及夹角 C．三个角 D．三条边
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E、F分别是BD、DC的中点，
则图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
（3）已知：如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：△AED≌△BFC。
（4）已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F。
求证：BE=CD
（四）归纳总结，提升能力。
（五）当堂检测，检查效果。
1．如下图，已知AD＝BC，要证明ΔABC≌ΔBAD，根据“SSS”，还需要一个条件___________，根据“SAS”，还需要一个条件________________。
2．如图，点O是AB的中点，AC∥BD，则ΔAOC≌ΔBOD的理由是___________。
3．如图，AB＝AD，BE＝DE，∠1＝∠2，则图中全等三角形共有_____对。
4．已知：如图，点A．C．B在一条线上，且AC=EC，DC=BC，∠ACE=∠DCB。
求证：（1）△ACD≌△ECB；（2）AD=EB。
5．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论。
6．如图6，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C。
求证：BE=CD。
【第二课时】
【教学目标】
1．证明并掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理。
2．学会上述定理在几何证明及计算中的应用。
3．进一步熟悉证明题的一般方法，从已知和结论进行分析，严格书写过程。
4．培养学生认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
【教学重难点】
进一步熟悉证明题的一般方法，从已知和结论进行分析，严格书写过程。
【教学过程】
（一）前置练习，积累知识。
（1）已知AB是线段CD的垂直平分线， E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=______cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=_______°。
（2）已知A和B两点在线段EF的垂直平分线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，则∠AEB=( )
A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°
（二）情景激趣，导入新课。
我们学了线段垂直平分线的性质和判定，你能证明它们吗？
（三）自主学习，合作探究。
1．预习检查
（1）线段是轴对称图形，它的对称轴是____________________。
（2）线段垂直平分线的性质及的逆命题是____________，逆命题是______命题。
2．典例精析
☆探究一：证明线段垂直平分线的性质定理
已知：直线_______是线段AB的垂直平分线，垂足为点_____。
点P是直线______上的任意一点。
求证：______=_______
证明：（1）当点____不与线段的中点M重合时。
∵CD⊥AB（已知）
∴∠_____=∠_____=90°（垂直平分线的定义）
∵PM=PM( ) MA=_____（垂直平分线的定义）
∴△APM≌△________( )
∴PA=PB( )
（2）当点_______与线段的中点M重合时。
∵MA=MB（垂直平分线的定义）
∴PA=PB( )
☆探究二：证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
学生先组交流后独立完成证明过程，师适时补充。并找代表展示。
3．针对性练习
（1）如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC=_______，△BDC的周长等于_______。
（2）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，求△ABE的周长。
（四）归纳总结，能力提升。
1．学会了：（知识点、思想方法等）__________________________________；
2．不太懂的地方：__________________________________。
（五）当堂检测，检查效果。
2．如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点，求证：BE=DE
4．如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
求∠PAQ的度数。
【作业布置】
1．必做题：第8、9题；
2．选做题：第12题。
预分线的性质定理和判定定理。
【第三课时】
【教学目标】
1．证明并掌握角平分线的性质定理及逆定理。
2．会用上述定理证明有关的命题。
3．知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式。
4．养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
【教学重难点】
1．证明并掌握角平分线的性质定理及逆定理。
2．会用上述定理证明有关的命题。
3．知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式。
【教学过程】
（一）前置练习，积累知识。
1．相关知识链接
（1）角平分线的定义：__________________________________。
（2）∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2cm，则M到OB的距离为_________。
（3）判定两个三角形全等的方法有：______________________________________。
2．知识点1：角平分线的性质定理：角平分线上的点，到这个角的________________________相等。
知识点2：角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的___________相等的点在这个角的平分线上。
知识点3：证明三角形三条角平分线交于一点（内心）
（二）情境激趣，导入新课。
（三）自主学习，合作探究。
☆探究一：角平分线的性质定理的证明（学生自学课本内容，教师点拨。）
已知：如图，射线______是∠ABC的平分线，点P在BD上，______⊥A，______⊥BC，垂足分别是点______和______。
求证：______=______
证明：（用“∵、∴”的格式写出证明过程。）
定理归纳：
☆探究二：证明角平分线的性质定理的逆定理（即角平分线的判定定理）
问题：（1）角平分线的性质定理的逆命题是____________________，
逆命题的条件是____________________结论是____________________。
（2）要证明三角形的三条角平分线交于一点，只要证明两条角平分线的交点也在____________________上就可以了。
已知：____________________
求证：____________________
证明：____________________
定理归纳：
☆探究三：证明三角形三条角平分线交于一点（内心）
已知：____________________
求证：____________________
证明：____________________
结论：三角形的三条角平分线交于______点，并且这一点到三条边的距离______。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=______。
课堂练习：
1．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC=______cm。
2．已知：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC．
求证：BE=CF
（四）归纳总结，提升能力。
1．学会了：（知识点、思想方法、学习习惯等。）
2．不太懂的地方：______
3．今后努力的方向：______
（五）当堂检测，检查效果。
1．已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P，若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为______。
2．到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．不能确定
3．已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM，AD⊥ON，BE⊥OM，BF⊥ON，垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD．
求证：BE=BF
4．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线。
求证：AC+CD=AB
【第四课时】
【教学目标】
1．进一步熟悉证明题的题型，掌握判定直角三角形全等的斜边、直角边判定定理。
2．在已知一直角边和斜边的条件下，会用尺规作图的方法作直角三角形。
3．能够运用斜边、直角边判定定理及其它三角形全等的判定方法进行证明。
4．增强学生的合作意识，提高学生的逻辑思维能力。
【教学重难点】
1．在已知一直角边和斜边的条件下，会用尺规作图的方法作直角三角形。
2．能够运用斜边、直角边判定定理及其它三角形全等的判定方法进行证明。
【教学过程】
（一）前置练习，积累知识。
1．若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC与Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根据_____（简写）。
2．若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC与Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根据_____（简写）。
3．若AB=DE，BC=EF，则Rt△ABC与Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根据______（简写）。
4．若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则Rt△ABC与Rt△DEF_____（填“全等”或“不全等”）根据______（简写）。
思考交流：判定两个直角三角形全等，有哪些方法？
（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于______。
（2）有一个角是______角的三角形叫做直角三角形，它通常用符号______表示。
（3）命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是______，结论是______；它是______命题（填“真”“假”）。
（二）情境激趣，导入新课。
学生读课本：交流与发现（2）后，书写Rt△ABC与Rt△A′B′C′全等的证明过程。
总结：直角三角形全等的判定定理__________________________________________
这个定理可以简单地计作“__________________”或“___________________”。
学生交流课本：交流与发现（3），得出结论___________________
对于创设情境、引入新课中的问题：如果AB=DE，AC=DF，那么两个直角三角形是否全等？说明理由。
总结：直角三角形两边对应相等，如果两边都是直角边，根据_______证明全等；如果两边是一条直角边和一条斜边，根据___________________来说明另一边也相等，根据_______证明全等，也可以直接根据________证明全等。
（三）自主学习，合作探究。
1．如图CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD．
求证：CD=CB
2．已知：如图12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，，AE=CF。
求证：（1）；（2）。
（四）总结归纳，提升能力。
回顾本节课所学内容，教师作补充。
（五）当堂检测，检查效果。
1．如图：Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交与点O，则有_______≌_______，判定的根据是_______。还有_______≌_______判断的根据是_______。
2．已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F，且AE=CF，∠D=60°。
求：∠A的度数。
3．已知：如图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于H点。
求证：AB=AC