第六章 计数原理 小结（课后练习）（含解析）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第三册人教A版

作业练习
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季
课题 章末复习 计数原理
教科书 书 名：人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2021年8月
作业练习
一．选择题 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　) A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 2．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　) A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 3．（2022秋·河南南阳·高二校练习）展开式中含的项的系数是( ) A．-15 B．15 C．6 D．-6 4．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）二项式的展开式中所有二项式系数之和为，则二项式的展开式中常数项为（ ） A．9 B．15 C．135 D．540 5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是(　　) A．40 B．74 C．84 D．200 6．（2021秋·江苏泰州·高二统考期中）“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．某县为响应国家政策，选派了5名工作人员到三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ） A．25种 B．60种 C．150种 D．540种 7．（多选）（2022秋·广东东莞·高二校联考）若，则正整数x的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（多选）对于关于下列排列组合数，结论正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）将甲 乙 丙 丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（ ） A．共有18种安排方法 B．若甲 乙被安排在同社区，则有6种安排方法 C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法 D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法 二．填空题 10．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) 11．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为________. 三．简答题 13．（2022春·甘肃兰州·高二校考期中）（1）求的展开式中的常数项； （2）的展开式中的系数为．求常数的值． 14．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球． (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ (2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 参考答案 一．选择题 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　) A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 1.答案　D 解析　5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32(种)，故选D. 2．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　) A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 2.答案　C 解析　先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480(种)．故选C. 3．（2022秋·河南南阳·高二校练习）展开式中含的项的系数是( ) A．-15 B．15 C．6 D．-6 3.答案D 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项系数作答. 【详解】展开式的通项公式为：， 由得，于是得， 所以展开式中含的项的系数是-6． 故选：D 4．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）二项式的展开式中所有二项式系数之和为，则二项式的展开式中常数项为（ ） A．9 B．15 C．135 D．540 4.答案C 【分析】根据所有二项式系数之和为，求出，再根据通项公式可求出结果. 【详解】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为，得，即， 所以 ， 令，得， 所以二项式的展开式中常数项为 . 故选：C． 5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是(　　) A．40 B．74 C．84 D．200 5.答案B 【解析】分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，由分类计数原理得共有不同选法的种数为74．故选B． 6．（2021秋·江苏泰州·高二统考期中）“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．某县为响应国家政策，选派了5名工作人员到三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ） A．25种 B．60种 C．150种 D．540种 6.答案C 【分析】先把5名工作人员分成3组，再安排到3个村即可求出结果. 【详解】把5个人分成3组，有两类分法：①5=1+1+3，则有种；②5=1+2+2，则有种，所以共有25种分法，根据题意，所求方法数有种， 故选：C. 7．（多选）（2022秋·广东东莞·高二校联考）若，则正整数x的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7.答案AB 【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x的值 【详解】由题意得：或， 解得：或，经过检验，均符合题意. 故选：AB 8．（多选）（2022·高二课时练习）对于关于下列排列组合数，结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8.答案ABC 【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答. 【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，因，因此成立，C正确； 对于D，因，即不成立，D不正确. 故选：ABC 9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）将甲 乙 丙 丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（ ） A．共有18种安排方法 B．若甲 乙被安排在同社区，则有6种安排方法 C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法 D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法 9.答案BD 【分析】A选项，先分组再分配，求出安排方法； B选项，先安排甲和乙，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可； C选项，先安排A社区，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可； D选项，分两种情况，A社区安排了两名志愿者和A社区只安排了甲志愿者，求出两种情况下的安排方法，再相加即可. 【详解】对于：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：，错误； 对于：甲 乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余 两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：，正确； 对于：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区， 再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为错误； 对于D：甲安排在社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者， 所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行 全排列，安排方法有种； 第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有种； 所以一共有安排方法为正确. 故选：. 二．填空题 10．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) 10.答案　1 080 解析　①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960. ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)． 11．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 11.答案 【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】原来个节目，形成个空位，安排一位老校友； 个节目，形成个空位，安排一位老校友； 个节目，形成个空位，安排一位老校友. 所以不同的安排方式有种. 故答案为： 设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为________. 12.答案－ 【解析】令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1， 再令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35． 两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121． 又由条件可知a5＝－1，故＝－．． 三．简答题 13．（2022春·甘肃兰州·高二校考期中）（1）求的展开式中的常数项； （2）的展开式中的系数为．求常数的值． 13.答案（1）；（2） 【分析】求得二项展开式的通项，结合题意确定的取值，代入，即可求解. 【详解】（1）由题意，二项式展开式的通项为， 令，可得， ， 所以展开式的常数项为． （2）由二项式展开式为， 令，解得， 因为的展开式中的系数为，可得，解得. 14．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球． (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ (2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 14.答案（1）115(2)186 解析(1)将取出的4个球分成三类： ①取4个红球，没有白球，有C种取法； ②取3个红球，1个白球，有CC种取法； ③取2个红球，2个白球，有CC种取法， 故共有C＋CC＋CC＝115(种)取法． (2)设取x个红球，y个白球(x，y∈N)， 则故或或 因此，符合题意的取法有CC＋CC＋CC＝186(种)．